2003　新潟大学　前期MathJax

【１】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，対角線$\mathrm{BD}$を$3:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{F}$は辺$\mathrm{CD}$の延長上にあって$\mathrm{CD}=3\mathrm{DF}$をみたし，直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{AG}$と直線$\mathrm{BF}$が垂直のとき，$\mathrm{AB}:\mathrm{AD}$を求めよ．

【２】　複素数平面上で，複素数$\alpha =1-\sqrt{2}i\text{，}\beta =1+\sqrt{3}-(1+\sqrt{2})i$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )$とする．点$\mathrm{A}$を中心として点$\mathrm{B}$を角$\theta$だけ回転した点を$\mathrm{P}(z)$とし，$z$の実部を$x\text{，}$虚部を$y$とする．ただし，$i$は虚数単位で，$0°\leqq \theta <360°$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x$と$y$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$y$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}(z)$が実軸上にあるとき，$\theta$と$z$を求めよ．

【３】　関数$y=x^2$のグラフ$C$と，定点$\mathrm{A}(0,a)\text{（}a>0\text{）}$を通り傾き$t$の直線$l$との交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．さらに，点$\mathrm{P}$における$C$の接線と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線の交点を$\mathrm{R}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{R}$の座標を$a$と$t$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$a$と$t$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{PQR}$の重心を$\mathrm{G}$とする．直線$l$の傾き$t$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c$は定数で，$a\ne 0$とする．$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$は，$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{13}{2}}$をとり，$b={\displaystyle {\int }_{-1}^2}f(x)dx$をみたす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$次関数$f(x)$を求めよ．

(2)　方程式$xf(x)+x-k=0$の異なる実数解の個数を求めよ．ただし，$k$は定数である．

【１】　関数$y=x^2$のグラフ$C$と，定点$\mathrm{A}(0,a)\text{（}a>0\text{）}$を通り傾き$t$の直線$l$との交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．また，点$\mathrm{A}$を通り直線$l$に垂直な直線$m$と，曲線$C$との交点を$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．ここで，$t$は正の実数とし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の$x$座標は正，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{S}$の$x$座標は負であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{PQ}}^2$と${\mathrm{RS}}^2$を$a$と$t$を用いて表せ．

(2)　$u=t^2+{\displaystyle \frac{1}{t^2}}$とおき，四角形$\mathrm{PSQR}$の面積を$T$とするとき，$T^2$を$u$を用いて表せ．

(3)　直線$l$の傾き$t$が正の実数全体を動くとき，面積$T$の最小値を求めよ．

【２】　$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 4\end{array}\right)$とし，$E$は$2$次の単位行列とする．また，$P$と$Q$は$2$次の正方行列で$A=2P+3Q\text{，}P+Q=E$をみたしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$P$と$Q$を求めよ．

(2)　$P^2=P\text{，}{Q}^2=Q$を示し，$PQ$と$QP$を求めよ．

(3)　$A$の逆行列を$aP+bQ$と表したとき，実数$a$と$b$を求めよ．

(4)　自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$r$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OG}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を示せ．

(3)　線分$\mathrm{OG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{OH}=\mathrm{HA}$を示し，この値を求めよ．

(4)　$\angle \mathrm{OHA}$を$\theta$とおくとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=e^{-\frac{x}{2}}(\cos x+\sin x)$に対して，$f(x)=1$の正の解を小さい方から順に$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　$a_n\leqq x\leqq a_{n+1}$の範囲で，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V_n$を求めよ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{V}_n$の和を求めよ．

【５】　点$\mathrm{P}$は数直線上を原点から出発して，投げたサイコロの目が$1\text{，}2\text{，}3$または$4$なら正の向きに$2$進み，$5$または$6$なら負の向きに$1$進むとする．点$\mathrm{P}$の座標を$x$として，サイコロを$n$回投げたとき，$x=15$となる確率を$p_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n$回中，$5$または$6$の目が$k$回出る確率を$n$と$k$を用いて表せ．ただし，$k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n$とする．

(2)　$p_9$と$p_{10}$を求めよ．

(3)　$n\geqq 9$とするとき，$p_n$を求めよ．

【６】　$p$と$q$は相異なる実数とし，整式$P(x)=x^3+px+q$と$Q(x)=x^3+qx+p$は共通因数$R(x)$をもつとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$R(x)$は$2$次式ではないことを示せ．

(2)　$r$を実数として，$R(x)=x+r$とするとき，$p$と$q$の関係および$r$の値を求めよ．

(3)　$p=0$のときを考える．整式$S(x)$は$P(x)$と$Q(x)$で共に割り切れる整式のうち次数が最小で，最高次数の項の係数が$1$であるとする．このような$S(x)$を求めよ．