2003　信州大学　前期　工学部MathJax

2003-10421-0301

2003　信州大学　前期　工学部

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式 $2^{3 x + 2} - 13 \cdot 2^{2 x} + 11 \cdot 2^{x} - 2 = 0$ を解け．

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易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　数列 ${a_{n}}$ が $a_{1} = 3 ， a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n + 1} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ を満たすとき，一般項 $a_{n}$ を求めよ．

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易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　極限 $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2 x} (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1})$ を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】(1)　 $\sin (α + β) = \sin α + \sin β$ のとき $\sin \frac{α}{2} \sin \frac{β}{2} \sin \frac{α + β}{2} = 0$ であることを示せ．

(2)　 $▵ ABC$ の頂角 $∠ A ， ∠ B$ の大きさ $A ， B$ が

$\sin (3 A + B) = \sin 3 A + \sin B ， \cos (3 A - B) = \cos 3 A - \cos B$

を満たすとする．このとき $A ， B$ を求めよ．さらにこの $▵ ABC$ が半径 $1$ の円に内接するとき， $▵ ABC$ の面積を求めよ．

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【３】　曲線 $C : y = \frac{a}{x (x + a)} （ a > 0 ）$ 上の点 $P_{1} (a, \frac{1}{2 a})$ と点 $P_{2} (2 a, \frac{1}{6 a})$ における $C$ の接線が $x$ 軸と交わる点をそれぞれ $Q_{1} ， Q_{2}$ とする．曲線 $C ，$ 線分 $P_{1} Q_{1} ，$ 線分 $P_{2} Q_{2}$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．

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【４】　 $x y$ 平面内の放物線 $y = x^{2} - 2 x - 1$ と直線 $y = - x + 1$ で囲まれた部分を底面とし， $x$ 軸に垂直な平面で切った切り口がつねに正三角形であるような右図の概形をもつ立体の体積を求めよ．

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