2003　大阪大学　後期MathJax

【１】　定数$p\text{，}q\text{，}r$は$p>q>r$をみたしている．$3$次方程式

$x^3+p{x}^2+qx+r=0$

の解は，連続する$3$つの整数$n-1\text{，}n\text{，}n+1$であるとする．このとき，$n$の値と$p\text{，}q\text{，}r$を定めよ．

【２】　平面上において，点$\mathrm{O}$を始点とする$2$つの半直線を$l_1\text{，}{l}_2$とし，それらのなす角は鋭角$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．点$\mathrm{A}$は$l_1$上の点で$\mathrm{OA}=1\text{，}$点$\mathrm{B}$は$l_2$上の点で$\mathrm{OB}=b$とする．次に，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{O}$からおろした垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によりベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，$t$を$b$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$を固定し，$b$を$b>0$の範囲で動かすとき，点$\mathrm{P}$が$l_1\text{，}{l}_2$ではさまれる部分（ただし$l_1\text{，}{l}_2$も含む）にあるための$b$の範囲を求めよ．

(3)　$b$が(2)で求めた範囲で動くとき，点$\mathrm{P}$の描く軌跡と$l_1\text{，}{l}_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　$n$を$3$以上の自然数とする．$1$から$2n$までの数字が書かれたカードがおのおの$1$枚ずつ，全部で$2n$枚ある．数字$m$が書かれたカ−ドを$\boxed{m}$で表すとする．この$2n$枚のカードを横一列に並べる．

　このとき，$\boxed{m}$が極大であるとは，その両隣のカードが$m$より小さいことをいう．ただし，$\boxed{m}$が列の左端にあるときには，その右隣のカードの数字が$m$より小さいことをいい，$\boxed{m}$が列の右端にあるときには，その左隣のカードの数字が$m$より小さいことをいう．

(1)　$\boxed{2n}$のみが極大である並べ方は何通りか．

(2)　$\boxed{n}$と$\boxed{2n}$のみが極大である並べ方のうち，これら$2$枚にはさまれたカードの数字の中で最小のものが$k$となる並べ方は何通りか，$n$と$k$を用いて表せ．

(3)　$\boxed{n}$と$\boxed{2n}$のみが極大であるカードの並べ方の総数を$P\left(n\right)$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{P(n)}{a^n}}$が$0$でない数に収束するような定数$a$の値と，そのときの極限値を求めよ．

【４】　$\pi$を円周率とする．次の積分について考える．

$I_0=\pi {\displaystyle {\int }_0^1}\sin \pi tdt$

$I_n={\displaystyle \frac{{\pi }^{n+1}}{n!}}{\displaystyle {\int }_0^1}{t}^n{(1-t)}^n\sin \pi tdt\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$n$が自然数であるとき，不等式

$1+{\displaystyle \frac{x}{1!}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+\cdots {\displaystyle \frac{x^n}{n!}}<e^x\text{（}x>0\text{）}$

が成立することを数学的帰納法により示せ．これを用いて，不等式

$I_0+u{I}_1+u^2{I}_2+\cdots +u^n{I}_n<\pi e^{\pi u}\text{（}u>0\text{）}$

が成立することを示せ．

(2)　$I_0\text{，}{I}_1$の値を求めよ．また，漸化式

$I_{n+1}={\displaystyle \frac{4n+2}{\pi }}{I}_n-I_{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

が成立することを示せ．

(3)　$\pi$が無理数であることを背理法により証明しよう．$\pi$が無理数でないとし，正の整数$p\text{，}q$によって$\pi ={\displaystyle \frac{p}{q}}$として表されると仮定する．$A_0=I_0\text{，}{A}_n=p^n{I}_n$とおくとき，$A_0\text{，}{A}_1\text{，}{A}_2\text{，}\cdots$は正の整数になることを示せ．さらに，これから矛盾を導け．