2003　高知大学　前期MathJax

【１】　三角形$\mathrm{OAB}$において辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{OA}=9\text{，}\mathrm{OB}=6$であり，直線$\mathrm{AQ}$と直線$\mathrm{BP}$が直交するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

【２】　放物線$C:y=x^2$上に点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)$をとる．ただし，$b<0<a$とする．次の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$の点$\mathrm{A}$における接線と点$\mathrm{B}$における接線の交点の座標を求めよ．

(2)　放物線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$T$とするとき，${\displaystyle \frac{T}{S}}$がとりうる値の最大値を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点$(0,0)$である．

【３】　$\alpha +\beta =\alpha \beta \text{，}|\alpha |=|\beta |=1$を満たす複素数$\alpha \text{，}\beta$の組をすべて求めよ．

【４】　区間$-3<x<1$で定義された関数$f(x)={\log }_{\frac{1}{2}}(3-2x-x^2)$について，次の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)=f(0)$を解け．

(2)　不等式$f(x)\geqq 0$を解け．

(3)　関数$f(x)$の最小値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=5& \\ a_{n+1}=({a_n}^2\text{を}11\text{で割った余り})& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

次の問いに答えよ．

(1)　$1$より大きい自然数$n$のうち，$a_n=5$となる最小のものを求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　次の不等式を示せ．

${\sin }^{2}x\geqq {\sin }^{3}x\geqq {\sin }^{4}x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

(2)　$t$の関数

${\displaystyle \frac{1}{2}}\{t\sqrt{1+t^2}+\log (t+\sqrt{1+t^2})\}$

を微分せよ．

(3)　次の不等式を示せ．

$1\leqq {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\sqrt{1-{\sin }^{3}x}dx\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\{\sqrt{2}+\log (1+\sqrt{2})\}$

【４】　$A\text{，}B$は$2$次の正方行列で，等式$BA=A^{2}B$を満たすものである．

(1)　$B{A}^2$を$A^i{B}^j$（$i\text{，}j$は自然数）の形で表せ．

(2)　${(AB)}^3$を$A^i{B}^j$（$i\text{，}j$は自然数）の形で表せ．

(3)　自然数$n$に対して$B{A}^n=A^{2n}B$となることを数学的帰納法によって証明せよ．

(4)　自然数$n$について$2^n-1=⟨n⟩$と略記するとき，

${(AB)}^n=A^{⟨n⟩}{B}^n$

となることを数学的帰納法によって証明せよ．