2003　佐賀大学　前期

【１】　$a$を正の数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$h$を正の数とする．$x$の値が$a^2$から${(a+h)}^2$まで変化するときの関数$y={(x+h)}^2$の平均変化率を$A(h)$とする．このとき，$A(h)$を求めよ．

(2)　$h$を実数とする．関数$y={(x+h)}^2$の$x={(a+h)}^2$における微分係数を$B(h)$とするとき，$B(h)$を微分係数の定義に従って求めよ．

(3)　$h\geqq 1$であるすべての点について

$A(n)+2<B(h)$

となる$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　$a$を正の定数とする．等式

${\displaystyle {\int }_{-1}^2}(x-a)(2-x)\mathit{dx}=3{\displaystyle {\int }_{-1}^c}(x-a)\mathit{dx}$

が成り立つような$c$の値は$-1<c<2$の範囲にいくつあるか．

【３】　方程式$z^5=1$の解$z$について次の問いに答えよ．

(1)　$z$を極形式で表せ．

(2)　$z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)$を用いて$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$の値を求めよ．

(3)　$\cos 144\mathrm{°}$の値を求めよ．

【４】　座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$の座標を$({\displaystyle \frac{1}{3}},0)\text{，}$点$\mathrm{B}$の座標を$(0,{\displaystyle \frac{2}{3}})$とする．負でない実数$s\text{，}$$t$は$s+2t=3$を満たしながら動くものとする．このとき，座標平面上の点$\mathrm{P}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

により定める．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の存在範囲を図示せよ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$の最小値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径を$R\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}$を$A$とするとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\sin A}}=2R$が成立する．このことを(ⅰ)$A={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の場合，(ⅱ)$A<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の場合，(ⅲ)$A>{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の場合についてそれぞれ証明せよ．

(2)　$\mathrm{AC}=b\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=\theta \text{，}$$\mathrm{\angle ACB}=3\theta$の$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{BC}$またはその延長上に$\mathrm{\angle CAP}=p\theta$$\text{（}p>0\text{）}$となるように点$\mathrm{P}$をとる．線分$\mathrm{CP}$の長さ$l$を$b\text{，}$$p\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた$l$の極限値$\underset{\theta \to 0}{\lim }l$を求めよ．

【２】　$xy$平面上に$4$つの点$\mathrm{E}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{F}$$(4,1)\text{，}$$\mathrm{G}$$(4,4)\text{，}$$\mathrm{H}$$(1,4)$をとる．また，$m>0$とし，$y=m^2{x}^2$で定まる放物線を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$C$と四角形$\mathrm{EFGH}$が交わるときの$m$の範囲を求めよ．

(2)　$C$が四角形$\mathrm{EFGH}$を$2$つに分割するとき，$C$よりも右側にある部分の面積を$S$とする．$S$を$m$の関数として表せ．

(3)　$C$が四角形$\mathrm{EFGH}$の面積を$2$等分するときの$m$の値を求めよ．

【３】　$0\leqq \alpha \text{，}$$\beta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である実数$\alpha \text{，}$$\beta$に対し，複素数$z_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を

$z_n={(\cos \alpha +i\sin \alpha )}^n+{(\cos \beta +i\sin \beta )}^n$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{．}$$\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3\text{，}$$z_4$を複素数平面上に図示せよ．

(2)　$z_6=-2$となる$\alpha \text{，}$$\beta$の組をすべて求めよ．

(3)　$\alpha =2\beta$のとき，$z_6=0$となる$\alpha$をすべて求めよ．

【４】　$xy$平面において，$y$軸上の点$\mathrm{A}$$(0,a)$と曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{X}$$(x,\log x)$を考える．ただし，対数は自然対数である．

(1)　線分$\mathrm{AX}$の長さが最短になる点$\mathrm{B}$はただ$1$つ存在し，線分$\mathrm{AB}$は点$\mathrm{B}$における曲線$y=\log x$の接線$l$と直交することを，以下の手順で証明せよ．

(ⅰ)　定数$a$に対して，$x^2+\log x-a=0$を満たす$x$はただ$1$つ存在することを示せ．

(ⅱ)　$b$を，$b^2+\log b-a=0$を満たす実数とする．線分$\mathrm{AX}$の長さが最短になる点は，$\mathrm{B}$$(b,\log b)$のみであることを示せ．

(ⅲ)　線分$\mathrm{AB}$は，$\mathrm{B}$$(b,\log b)$における曲線$y=\log x$の接線$l$と直交することを示せ．

(2)　$\mathrm{B}$$(b,\log b)$を，(1)で導いた点とする．線分$\mathrm{AB}$の長さが，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$となるときの$a$の値を求めよ．

【１】　$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{BP}:\mathrm{PA}=2:3$となる点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上にとり，直線$\mathrm{PG}$と直線$\mathrm{BC}$が交わる点を$\mathrm{Q}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を$t$を用いて表せ．

【２】　次の数列$\{a_n\}$の一般項を以下の手順で求めよ．

$1,2,4,10,23,46,82,134,\cdots$

(1)　数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とする．$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3\text{，}$$b_4\text{，}$$b_5$を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の階差数列は等差数列である．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　(2)の結果を用いて，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　底面の半径$r\text{，}$高さ$h$の直円錐に図のように内接する円柱について，以下の問いに答えよ．

(1)　円柱の高さを$x$とするとき，円柱の体積$V$を$x$の式で表せ．

(2)　円柱の体積の最大値$M$を求めよ．

(3)　$r\text{，}$$h$が$r+h=3$をみたすとする．このとき，$M$の最大値を求めよ．

【４】　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標を，それぞれ$(0,0)\text{，}$$(3,0)\text{，}$$(0,4)$とし，線分$\mathrm{AB}$を$3$等分する$2$点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．

(1)　線分$\mathrm{OP}$の延長線上に点$\mathrm{S}$を，線分$\mathrm{OQ}$の延長線上に点$\mathrm{R}$をとり，$\mathrm{OP}:\mathrm{OS}=\mathrm{OQ}:\mathrm{OR}=1:3$とするとき，点$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{R}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{R}$は第一象限にあるものとする．

(2)　直線$y=-2x+k$が四角形$\mathrm{PQRS}$の面積を$2$等分するときの$k$の値を求めよ．