2003　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$はともに$0$でない定数とするとき，

$a\cos \theta -b\sin \theta =\sqrt{a^2+b^2}\cos (\theta +\alpha )$

が成り立つことを示せ．ここで$\alpha$はある定数である．

(2)　$\sqrt{3}\cos \theta -\sin \theta$を(1)を用いて$\cos$の式で表せ．$\alpha$の値も求めよ．

(3)　$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$のとき，$\cos \theta -\sin \theta$の最大値と最小値を求めよ．そのときの$\theta$の値もそれぞれ求めよ．

【２】　関数$f(x)=e^{-x}|x-[x]-{\displaystyle \frac{1}{2}}|$に対して，

$a_n={\displaystyle {\int }_0^n}f(x)\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．ただし記号$[x]$は$x$を越えない整数を表すものとする．このとき次の各問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を$0\leqq x\leqq 1$の範囲でかけ．グラフの凹凸も調べよ．

(2)　$a_1$を求めよ．

(3)　$a_n$を$n$と$a_1$を用いて表せ．さらに$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３-１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を奇数とする．$x$についての$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$に関して，次の各問いに答えよ．

(1)　この$2$次方程式が有理数の解${\displaystyle \frac{q}{p}}$をもつならば，$p$と$q$はともに奇数であることを背理法で証明せよ．ただし${\displaystyle \frac{q}{p}}$は既約分数とする．

(2)　この$2$次方程式が有理数の解を持たないことを(1)を利用して証明せよ．

【３−２】　下記の一連の等式が成立しているという（ただし$m$は自然数）．これについて，次の各問いに答えよ．

(1)　$\text{①}$の等式を証明せよ．

(2)　最下行の右辺の空欄に入る式を推測し，最下行の等式が成り立つことを証明せよ．なお，推測する式の中では，左辺と同様$\text{「}\cdots \text{」}$を用いてよい．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k={\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)$

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(k+1)$$={\displaystyle \frac{1}{3}}n(n+1)(n+2)$$\cdots \text{①}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(k+1)(k+2)$$={\displaystyle \frac{1}{4}}n(n+1)(n+2)(n+3)$

$⋮$

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(k+1)(k+2)\cdots (k+m)$$=$

【３-３】　次の各問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る直線$\mathrm{BC}$の一方の側にあって，$\mathrm{\angle BPC}$の大きさが一定であるように動くとする．点$\mathrm{I}$が$\mathrm{▵PBC}$の内心であるとき，$\mathrm{\angle BIC}$が一定であることを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が正$3$角形$\mathrm{ABC}$の外接円上を動くとする（ただし点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に一致しないとする）．$\mathrm{▵PBC}$の内心$\mathrm{I}$の軌跡を求め，これを図示せよ．

【４-１】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=2$とし，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とする．また直線$\mathrm{OD}$に点$\mathrm{A}$から下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{OM}$と直線$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，次の各問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$および$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【４-２】　複素数平面上において，次の各々はどのような図形を表すかを答えよ．

(1)　複素数$z$が$\left|z\right|=1$および$z\ne 1$を満たすとき，$w={\displaystyle \frac{1}{1-z}}$が表す点の全体．

(2)　複素数$z$が$\left|z\right|=1$を満たすとき，$w={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-z}}$が表す点の全体．

(3)　複素数$z$が$\left|z\right|=1$および$0\mathrm{°}<\arg z<90\mathrm{°}$を満たすとき，$w={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-z}}$が表す点の全体．

【４-３】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の番号をつけた$5$枚のカードがある．カード$1$枚をでたらめに取り出し，取り出したカードはもとに戻す試行を繰り返す．ただしこの試行は，取り出したカードの番号が$4$以上であるか，または取り出したカードの番号の和がはじめて$4$以上になったときに終了する．カードを取り出した回数を$X$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　確率$P(X=1)$および$P(X=2)$を求めよ．

(2)　$X$の確率分布および平均（期待値）$E(X)$を求めよ．

(3)　取り出したカードの番号の和が$8$である確率を求めよ．さらに，取り出したカードの番号の和が$8$であるときに，カードを取り出した回数が$2$回である条件つき確率を求めよ．

【５-１】　行列$A$と列ベクトル$X\text{，}$$P$を

$A=\left(\begin{array}{cc}2& -t\\ 1+t& 1-2t\end{array}\right)\text{，}$$X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\text{，}$$P=\left(\begin{array}{c}4-t\\ -1+2t\end{array}\right)$

とおく．ただし$t$は定数とする．このとき次の各問いに答えよ．

(1)　連立方程式$AX=P$がただ$1$つの解をもつのは$t$がどのような場合か．

(2)　連立方程式$AX=P$が無数の解をもつのは$t$がどのような場合か．

(3)　連立方程式$A^{2}X=AP$が少なくとも$1$つの解をもつのは$t$がどのような場合か．

【５-２】　次の各問いに答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$を$\alpha >0\text{，}$$\beta \ne 0\text{，}$$\alpha >\beta$を満たす定数とし，方程式

${\displaystyle \frac{x^2}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{y^2}{\beta }}=1$

で表される平面上の$2$次曲線を$C$とする．点$\mathrm{P}$$(x_0,y_0)$（ただし$y_0\ne 0\text{）}$を$C$上の点とし，点$\mathrm{P}$における$C$の接線の傾きを$m$とするとき，$m=-{\displaystyle \frac{\beta x_0}{\alpha y_0}}$であることを示せ．ただし$C$が双曲線の場合，接線の傾きと漸近線の傾きが一致しないことを証明せずに用いてよい．

(2)　$t$は$1<t<4$を満たすとする．方程式

${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$および${\displaystyle \frac{x^2}{4-t}}+{\displaystyle \frac{y^2}{1-t}}=1$

で与えられる$2$次曲線をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．点$\mathrm{P}$$(x_0,y_0)$（ただし$y_0\ne 0\text{）}$が$C_1$と$C_2$の交点であるとき，点$\mathrm{P}$における$C_1$および$C_2$の接線は互いに直交することを，(1)の結果を用いて示せ．

【５-３】　方程式$x^2-2=0$の解$\sqrt{2}$の近似値をニュートン法を用いて求めたい．次の各問いに答えよ．

(1)　$\sqrt{2}$の近似値を求めるためのニュートンの繰り返し公式が

$x_{k+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(x_k+{\displaystyle \frac{2}{x_k}})$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で与えられることを示せ．

(2)　$x_1=2$とするとき，$x_2$および$x_3$を求めよ（小数第$4$位を四捨五入して，小数第$3$位まで求めること）．

(3)　$y_k={\displaystyle \frac{x_k-\sqrt{2}}{x_k+\sqrt{2}}}$とおくとき，$y_{k+1}=y_k^2$となることを示せ．

(4)　$y_k$を$k$と$y_1$を用いて表せ．さらに，$x_1=2$のとき，$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_k=\sqrt{2}$を示せ．

【５-４】　確率変数$Z$が平均$0\text{，}$分散$1$の標準正規分布$N(0,1)$に従うとする．$P(0\leqq Z\leqq 1.5)=0.4332$であるとして，次の各問いに答えよ．

(1)　確率変数$X$は平均$40\text{，}$分散${20}^2$の正規分布$N(40,{20}^2)$に従うとする．確率$P(X\leqq 10)$を求めよ．

(2)　母平均$40\text{，}$母分散${20}^2$の母集団から，大きさ$n$の無作為標本を抽出するとき，その標本平均を$\bar{X}$とする．$n$が十分大きいとき，$\bar{X}$が近似的に従う確率分布を求めよ．また，この確率分布に$\bar{X}$が正確に従うと仮定して，$P(39\leqq \bar{X}\leqq 41)\geqq 0.8664$となる$n$の値の範囲を求めよ．