2003　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　各辺の長さが$1$である正六角形$\mathrm{ABCDEF}$とその中心$\mathrm{O}$を考えます．点$\mathrm{G}$は辺$\mathrm{AF}$を$4:1$に内分する点で，点$\mathrm{H}$は辺$\mathrm{CD}$の中点です．線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{I}$として，線分$\mathrm{GI}$と線分$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{J}\text{，}$線分$\mathrm{GI}$の延長と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{K}$とします．

　以下$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\overrightarrow{\alpha }\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\beta }$とします．

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}}{\boxed{\text{(3)}\text{(4)}}}\overrightarrow{\alpha }+\frac{\boxed{\text{(5)}\text{(6)}}}{\boxed{\text{(7)}\text{(8)}}}\overrightarrow{\beta }}$

から

$\overrightarrow{\mathrm{AI}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(9)}\text{(10)}}}{\boxed{\text{(11)}\text{(12)}}}\overrightarrow{\alpha }+\frac{\boxed{\text{(13)}\text{(14)}}}{\boxed{\text{(15)}\text{(16)}}}\overrightarrow{\beta }}$

がわかります．さらに

$\overrightarrow{\mathrm{AJ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(17)}\text{(18)}}}{\boxed{\text{(19)}\text{(20)}}}}\overrightarrow{\alpha }$

も示せます．以上から

$\mathrm{OJ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(21)}\text{(22)}}}{\boxed{\text{(23)}\text{(24)}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\mathrm{OI}}{\mathrm{BI}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(25)}\text{(26)}}}{\boxed{\text{(27)}\text{(28)}}}}$

がしたがい，

$\mathrm{BK}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(29)}\text{(30)}}}{\boxed{\text{(31)}\text{(32)}}}}$

を得ることができます．

【２】　初項$a\text{，}$公差$17$の等差数列

$a\text{，}a+17\text{，}a+34\text{，}a+51\text{，}\cdots$

を考えます．初項$a$は$0$以上の整数とします．この等差数列において値が$1000$以下の項の和を$S(a)$とします．$S(a)$は$a=\boxed{\text{(33)}\text{(34)}}$で最大となり，そのとき$S\left(a\right)$の値は

$\boxed{\text{(35)}\text{(36)}\text{(37)}\text{(38)}\text{(39)}}$

です．

【３】　赤い箱に赤玉が$4$個，白玉が$2$個入っています．白い箱には，赤玉が$2$個，白玉が$4$個入っています．第$1$回目の試行では，赤い箱から玉を$1$個取り出して，赤い箱に戻します．この第$1$回目の試行で赤玉を取り出した場合は，第$2$回目の試行で赤い箱から玉を$1$個取り出して赤い箱に戻します．また第$1$回目の試行で白玉を取り出した場合は，第$2$回目の試行で白い箱から玉を$1$個取り出して白い箱に戻します．以下，同様の試行を繰り返します．すなわち，第$n$回目の試行で赤玉を取り出した場合には，第$n+1$回目の試行で赤い箱から玉を$1$個取り出して赤い箱に戻し，第$n$回目の試行で白玉を取り出した場合には，第$n+1$回目の試行で白い箱から玉を$1$個取り出して白い箱に戻します．

　第$n$回目の試行で赤が出る確率を$P_n$とするとき，$P_n$に関する漸化式

$P_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(40)}}}{\boxed{\text{(41)}}}}{P}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(42)}}}{\boxed{\text{(43)}}}}$

が成立します．このことから

$P_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(44)}}}{\boxed{\text{(45)}}}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{(46)}}}}\times {\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(47)}}}{\boxed{\text{(48)}}}}\right)}^n$

であることがわかります．そして，第$1$回目から第$n$回目までに赤玉が取り出される回数の期待値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(49)}}}{\boxed{\text{(50)}}}}\times n+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{(51)}}}}\times \{\boxed{\text{(52)}}-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(53)}}}{\boxed{\text{(54)}}}}\right)}^n\}$

となります．

【４】(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は正数とします．このとき

$ab\geqq 1\text{かつ}cd\geqq 1$

ならば

$ad+bc\geqq 2$

であることを証明してください．

(2)　座標平面の部分集合$C$が凸であるとは，$C$の相異なる$2$点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$に対して線分$\mathrm{PQ}$が$C$に含まれることです．

$D=\{(x,y)|x>1\text{，}xy\geqq 1\}$

が凸であることを証明してください．

【５】　点$\mathrm{A}(1,2)$を通る傾き$a$の直線と放物線$y=x^2$で囲まれる部分の面積を$T(a)$とするとき，その最小値を求めてください．

【６】　定数$a$に対して関数$f(x)$を

$f(x)=x^3-6a{x}^2+9a^{2}x-4$

と定めます．

(1)　「$f(1)\geqq 0$である」ことの必要十分条件を$a$について求めてください．

(2)　「$x\geqq 1$ならば$f(x)\geqq 0$である」ことの必要十分条件を$a$について求めてください．