2003　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】

(1)　実数$a$と実数$r$について，次の式

$(1+i)r^2+(a-i)r+2(1-ai)=0$

が成り立つとする．このとき，$a=\boxed{\text{(1)}}$かつ$r=-\boxed{\text{(2)}}$である．ただし，$i^2=-1$とする．

【１】

(2)　$3$次方程式$x^3-2x^2+3x-4=0$の$3$つの解を複素数の範囲で考え，それらを$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とする．このとき，${\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4$の値は$\boxed{\text{(3)}\text{(4)}}$である．また，${\alpha }^5+{\beta }^5+{\beta }^5$の値は$\boxed{\text{(5)}\text{(6)}}$である．

【１】

(3)　$a\text{，}b$を正の実数とする．このとき

「$x^2+y^2\leqq a^2$ならば，$|x-2y|\leqq b$である」

という命題が成り立つための必要十分条件は

$a\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(7)}}}}{\boxed{\text{(8)}}}}b$

である．

【２】　ある定数$r\text{，}s\text{，}u$が存在して，どんな$2$次の整式$f(x)=a{x}^2+bx+c$に対しても，つねに

${\displaystyle {\int }_{-7}^7}f(x)dx=rf(u)+sf(-u)$

が成り立つとする．このとき，定数$r\text{，}s\text{，}u$は

$r=\boxed{\text{(9)}}\text{，}s=\boxed{\text{(10)}}\text{，}u=\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{(11)}}\sqrt{\boxed{\text{(12)}}}}{\boxed{\text{(13)}}}}$

である．

【３】　零ベクトルでない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$に対して，次の$2$つの条件

(ⅰ)　${\left|\overrightarrow{a}\right|}^4+{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^4=10{\left|\overrightarrow{b}\right|}^4$

(ⅱ)　${|\overrightarrow{a}|}^2$と${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^2$は，それぞれ${|\overrightarrow{b}|}^2$の整数倍になっている

が成り立つとする．ただし，$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$は，それぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$の大きさを表す．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta \text{（}0°\leqq \theta \leqq 180°\text{）}$と${\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}}$の値は

$\theta =\boxed{\text{(14)}\text{(15)}\text{(16)}}°\text{，}{\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}}=\boxed{\text{(17)}}$

または

$\theta =\boxed{\text{(18)}\text{(19)}}°\text{，}{\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}}=\sqrt{\boxed{\text{(20)}}}$

である．

【４】　$2$つの曲線$C_1:y=x^2+ax+p$と$C_2:y=-x^2+bx+q$の両方に同時に接する直線について考える．

(1)　このような直線が，異なって$2$つ存在するための必要十分条件は

${(a-b)}^{\boxed{\text{(21)}}}-\boxed{\text{(22)}}(p-q)<0\cdots$(＊)

である．

(2)　上の式(＊)が成り立つとき，曲線$C_1\text{，}{C}_2$の両方と同時に接する$2$つの直線を，それぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とする．$l_1$と$l_2$が交わる点の$x$座標は

$x={\displaystyle \frac{b-a}{\boxed{\text{(23)}}}}$

である．

(3)　特に$b=a\text{，}q=-p$で，かつ式(＊)が成り立つ場合について考える．(2)と同様に，$C_1\text{，}{C}_2$の両方と同時に接する$2$つの直線を，それぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とする．このとき，$C_1\text{，}{l}_1\text{，}{l}_2$で囲まれる部分の面積と，$C_2\text{，}{l}_1\text{，}{l}_2$で囲まれる部分の面積の和は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(24)}}}{\boxed{\text{(25)}}}}p\sqrt{p}$

である．

【５】　${\log }_{3}7$は有理数ではないことを証明せよ．