2003　慶応義塾大学　総合政策学部MathJax

【１】

(1)　整式 $P(x)$を$(x-1)$で割ったときの余りは$5\text{，}(x+2)$で割ったときの余りは$-1$である．このとき，$(x-1)(x+2)$で割った余りは

$\boxed{\text{(1)}}x+\boxed{\text{(2)}}$

である．

【１】

(2)　半径$1$の円に内接する正$5$角形の一辺の長さの$2$乗は${\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{2}}$である．これを用いて

$\cos 36°={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{(3)}}}-1}}\text{，}\sin 36°=\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}}-\sqrt{\boxed{\text{(5)}}}}{8}}}\text{，}$

$\tan 36°=\sqrt{\boxed{\text{(6)}}-\boxed{\text{(7)}}\sqrt{\boxed{\text{(8)}}}}$

と計算できる．

【１】

(3)　$f(x)=x^3+3x^2-2$とする．このとき$|f(-x+2)|$の区間$1\leqq x\leqq 5$における最大値は$\boxed{\text{(9)}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{(10)}}$である．

【２】

(1)　 $\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$人はグループで旅行にいき，旅館に宿泊することにした．「松」「竹」「梅」の$3$つの部屋を予約した．空き部屋を作ることなく部屋割りを考えると$\boxed{\text{(11)}}\boxed{\text{(12)}}$通りある．また，$\mathrm{E}$が加わり$5$人でいくと部屋割りは$\boxed{\text{(13)}}\boxed{\text{(14)}}\boxed{\text{(15)}}$通りになる．

【２】

(2)　$15$人の生徒を収容している寄宿舎がある．健康のために毎日$3$人づつ$5$組に分かれて散歩に行く．毎日同じ人と組んではおもしろくない．そこで一週間の間，だれもが，どの友達とも一度は同じ組になるように下表のような組み分け表を考えた．ただし，生徒には$0$から$14$までの番号が付いているが，◯は表が汚れていて読み取れない．また，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は異なる番号をあらわす．このとき$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の番号は

$\mathrm{A}=\boxed{\text{(16)}}\boxed{\text{(17)}}\text{，}\mathrm{B}=\boxed{\text{(18)}}\boxed{\text{(19)}}\text{，}\mathrm{C}=\boxed{\text{(20)}}\boxed{\text{(21)}}\text{，}\mathrm{D}=\boxed{\text{(22)}}\boxed{\text{(23)}}$

である．

【３-1】　複素数$z=x+iy$が

${\displaystyle \frac{1-2i}{2}z+\frac{1+2i}{2}\bar{z}}=3$

を満たすとする．ただし，$\bar{z}=x-iy$である．このとき、点$(x,y)$は直線

$\boxed{\text{(25)}}x+\boxed{\text{(26)}}y=\boxed{\text{(27)}}$

上にある．この直線は原点と点${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(28)}}}{\boxed{\text{(29)}}}}(1+\boxed{\text{(30)}}i)$を結ぶ線分の垂直$2$等分線である．

補足：(26)と(27)の答えは互いに素です．

【３-2】　円周率$\pi$の近似値を計算する．円周率は円周と直径の比であるから，円周を円に内接する正$N$角形の$N$個の辺の長さの和で近似することにより，$\pi$の近似値を計算することができる．半径$1$の円に内接する正$6\times 2^n$角形$\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$の一辺の長さを$a_n$とすれば

$a_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-{a_n}^2}}$

である．この式を用いると，$2$から$2$に極めて近い値を引くことになり，計算の精度が失われる．そこでこの形を採用しないで

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{\sqrt{\boxed{\text{(31)}}+\sqrt{\boxed{\text{(32)}}-{a_n}^2}}}}$

を用いて計算する．この漸化式により$a_n$を計算していったとき，$\pi$の値は$\boxed{\text{(33)}}\times 2^n\times a_n$で近似される．

　次のプログラムはこの考え方にしたがって，$\pi$の近似値を正$6$角形から始めて計算するものである．隣り合う近似値の差が，十分に小さくなったとき，プログラムは終了する．

10 REM　円周率の近似値

11 EPS=0.0000001

12 A=1

13 P=3

14 B=A/SQR( $\boxed{\text{(34)}}$ + SQR ( $\boxed{\text{(35)}}$ - A * A ))

15 Q=P * $\boxed{\text{(36)}}$

16 IF ABS ( P * A - Q * B ) < EPS THEN GOTO $\boxed{\text{(37)}}\boxed{\text{(38)}}$

17 P = Q

18 A = B

19 GOTO $\boxed{\text{(39)}}\boxed{\text{(40)}}$

20 PRINT Q * B

21 END

【４】　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$さんはグー，チョキ，パー（石，はさみ，紙）のじゃんけんをして，勝ち負けを争った．次の表は$1$回ごとのじゃんけんの利得を表している．

例えば$\mathrm{A}$君がグーで$\mathrm{B}$さんに勝てば，$100$ポイントもらえ，負ければ$500$ポイント失う．

　いま，$\mathrm{A}$君がグー，チョキ，パーを出す確率は正の値で，それぞれを$p\text{，}q\text{，}r$とする．$\mathrm{B}$さんも同じ確率でグー，チョキ，パーを出す．また，$\mathrm{A}$君がグーを出して得られるポイントの期待値と，チョキを出して得られるポイントの期待値と，パーを出して得られるポイントの期待値を，それぞれ$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$とする．

　$p:q:r=1:1:2$のとき

$l_1:l_2:l_3=\boxed{\text{(41)}}\boxed{\text{(42)}}:1:\boxed{\text{(43)}}\boxed{\text{(44)}}$

である．また，$l_1=l_2=l_3$のとき

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(45)}}}{\boxed{\text{(46)}}}}\text{，}q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(47)}}}{\boxed{\text{(48)}}}}\text{，}r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(49)}}}{\boxed{\text{(50)}}}}$

である．

【５】　解答欄の$\boxed{\text{(51)}}$から$\boxed{\text{(60)}}$には，次の選択肢から最も適切なものを選び，その番号を解答欄に答えなさい．

選択肢

• (0)　$k$
• (1)　$k+1$
• (2)　$n$
• (3)　$n+1$
• (4)　$N$
• (5)　$N+1$
• (6)　$0$
• (7)　$1$
• (8)　$2$
• (9)　$3$

　区間$1\leqq x\leqq N+1$（$N$は自然数）において$f(x)>0$であり，$f(x)$はその区間で減少している．数列$\{a_n\}$を

$a_n=f(n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}N+1\text{）}$

で定義する．このとき不等式

${\displaystyle \sum _{n=1}^N}{a}_n\geqq {\displaystyle {\int }_1^{N+1}}f(x)dx\text{，}{\displaystyle {\int }_1^N}f(x)dx\geqq {\displaystyle \sum _{n=1}^N}{a}_n-a_1$

が成立する．このことを証明しよう．

　自然数$k\leqq N$に対して，区間$k\leqq x\leqq k+1$を考える．$f(x)>0$で$f(x)$は減少しているから

$a_{\boxed{\text{(51)}}}\geqq {\displaystyle {\int }_k^{k+1}}f(x)dx\geqq a_{\boxed{\text{(52)}}}$

である．よって$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}N$に対する式の各辺の和をとれば

${\displaystyle \sum _{n=1}^N}{a}_n\geqq {\displaystyle {\int }_1^{\boxed{\text{(53)}}}}f(x)dx\geqq {\displaystyle \sum _{n=1}^{\boxed{\text{(54)}}}}{a}_n-a_{\boxed{\text{(55)}}}$

となる．このことから求める$2$つの不等式が得られる．