2003　上智大学　理工（機械・化学）学部2月11日実施MathJax

【１】

(1)　$p$を実数定数とし，直線$y=2px+p^2+2p+1$を$l_p$とおく．放物線

$y=\boxed{\text{ア}}{x}^2+\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}$

は，どのような$p$に対しても直線$l_p$と接している．

【１】

(2)　$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，

$S(a)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|x-a|\sin xdx$

とおく．$S(a)$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\pi$のとき，最小値$\boxed{\text{カ}}+\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\pi$をとる．

【２】　$m$を自然数，$c_n$を

$c_n={\displaystyle \frac{n}{n+m}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とし，$a_n$を次の式をみたす数列とする．

$a_0=1$

${a_n}^2-c_n{a}_{n-1}(a_n+c_n{a}_{n-1})=0\text{，}{a}_n>0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(1)

$a_n=\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}\right)\cdot c_n{a}_{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

である．

(2)　$m=2$のときに$a_n$を最小にする$n$は$\boxed{\text{セ}}$であり，$m=20$のときに$a_n$を最小にする$n$は$\boxed{\text{ソ}}$である．

(3)　$k$個から$l$個選ぶ組合せの数を${}_{k}C_l$で表す．$n=7\text{，}m=2$のとき

${\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}\right)}^7={}_{k}C_l\cdot a_7$

とすると$k=\boxed{\text{タ}}\text{，}l=\boxed{\text{チ}}$である．ただし$2l\leqq k\text{，}l\ne 1$とする．

【３】　$xy$平面上を$x$軸上の点$(1,0)$から出発し，第$1$象限，第$2$象限，$\cdots$と連続した軌跡を描きながら反時計回りに動く点がある．出発するときの時刻$t$を$0$とし，各象限での運動の速度ベクトル$({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})$はそれぞれ

第$1$象限で$(-2a^{2}t,2b^{2}t)$

第$2$象限で$(-2b^{2}t,-2a^{2}t)$

第$3$象限で$(2c^{2}t,-2d^{2}t)$

第$4$象限で$(2d^{2}t,2c^{2}t)$

とする．

　出発前に，硬貨を$4$回投げて$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を決定する．その際，各試行に対し，表が出たら$1\text{，}$裏が出たら$2$と定める．一度定めた$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値はそのまま固定する．

(1)　運動する点が同じ機動を回り続ける確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$であり，原点に収束する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．

(2)　$a=1\text{，}b=1\text{，}c=2\text{，}d=1$の場合を考える．第$1$象限を通過し，最初に$y$軸に達するときの時刻は$\boxed{\text{ニ}}$である．続いて第$2$象限を通過し，$x$軸に達するときの時刻は$\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$である．続いて第$3$象限を通過し，$y$軸に達するときの時刻は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．続いて第$4$象限を通過し，$x$軸に達するときの時刻は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

【４】　$xyz$空間において，ある物体が$xz$平面上の点$\mathrm{P}(0,0,1)$から，各成分が負の方向ベクトル$\overrightarrow{k}=(-a,-b,-c)$の方向に直進した．その物体は$yz$平面上の点$\mathrm{Q}$で方向を変え，

$\overrightarrow{l}=(-a\cos \theta +b\sin \theta ,-a\sin \theta -b\cos \theta ,-c)$

の方向に直進し，$xy$平面上の点$\mathrm{R}$を通過し，$xz$平面上の点$\mathrm{S}$で止まった．

(1)　$a=4\text{，}b=2\text{，}c=3\text{，}\theta ={\displaystyle \frac{5}{4}}\pi$のとき，点$\mathrm{R}$の$x$座標は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{フ}}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$であり，点$\mathrm{S}$の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．

(2)　$b=1\text{，}c=3\text{，}\theta =\pi$のときを考える．点$\mathrm{Q}$の座標が正，点$\mathrm{R}$の$y$座標が負である条件は$\boxed{\text{ミ}}<a<\boxed{\text{ム}}$である．この範囲を$a$が動くとき，点$\mathrm{R}$の$x$座標，$y$座標は

$y={\displaystyle \frac{x+\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}x+\boxed{\text{ヤ}}}}$

をみたす．