2003　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　次の行列$A$の$(1,2)$成分は$\boxed{\text{ア}}$である．

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta & {\sin }^2\theta \\ {\sin }^2\theta & {\cos }^2\theta \end{array}\right)}^{2003}{\left(\begin{array}{cc}6& 7\\ 9& 8\end{array}\right)}^{219}$

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　自然数$n$に対して

$I_n={\displaystyle {\int }_{-1}^1}|x^3-x+{\displaystyle \frac{x}{n}}|dx-{\displaystyle {\int }_{-1}^1}|x^3-x|dx$

とおく．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$1$桁の数$a=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}9$に対して，$9-a$を$a$の補数といい，$\bar{a}$で表す．$2$桁以上の$10$進数$k$については，各桁をその補数で置き換えた数を$k$の補数といい，$\bar{k}$で表す．$║k║$で$k$の桁数を表すとき，数列$\{x_n^{(a)}\}$を

$\{\begin{array}{l}{x}_1^{(a)}=a\\ x_{n+1}^{(a)}={10}^{║x_n^{(a)}║}\times x_n^{(a)}+\overline{x_n^{(a)}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

で定める．$a$が$0$以外の$1$桁の数のとき，$x_n^{(a)}+\overline{x_n^{(a)}}+1$を$n$を用いて表すと$\boxed{\text{ウ}}$となる．また，$x_n^{(3)}-x_n^{(2)}$が$9^m$で割り切れるとき，$m$の最大値は$\boxed{\text{エ}}$である．ただし，$m$は$0$以上の整数の範囲で考える．

【２】　座標平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は同一直線上にないとする．線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{POB}$をみたし，線分$\mathrm{OP}$上の点$\mathrm{Q}$は$\angle \mathrm{OAQ}=\angle \mathrm{QAP}$をみたすとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$とおく．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,0)$とし，実数$x$に対して$\mathrm{B}(x,1)$とする．このとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標を$f(x)$とする．$x$が$0\leqq x\leqq 2$の範囲を変化するときの$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．