2004　北海道大学　前期MathJax

【１】　 正の実数$a$に対し，$x=a+{\displaystyle \frac{1}{a}}\text{，}y=a-{\displaystyle \frac{1}{a}}$とおく．このとき$x^8-y^8$が最小となる$a$の値と，その最小値を求めよ．

【２】　$a$を正の実数とし，関数

$F(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+a}}||t|-1|dt$

を考える．

(1)　$F(x)$の導関数$F^{\prime }(x)$を求めよ．さらに，$F^{\prime }(x)=0$となる$x$の値をすべて求めよ．

(2)　$0<a<2$のとき，$F(x)$の極大値および極小値と，それらを与える$x$の値を求めよ．

(3)　$a>2$のとき，$F(x)$の極小値と，それを与える$x$の値を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{ABCD-EFGH}$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{F}$を含む平面と直線$\mathrm{BH}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{P}$から面$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　長方形$\mathrm{DBFH}$を描き，三角形$\mathrm{ACF}$との交線と点$\mathrm{P}$を図示せよ．さらに，線分$\mathrm{BP}\text{，}\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

(2)　四面体$\mathrm{ABCF}$に内接する球の中心を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{O}$は線分$\mathrm{BP}$上にあることを示せ．

(3)　四面体$\mathrm{ABCF}$に内接する球の半径を求めよ．

【４】　ある人がサイコロを振る試行によって，部屋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を移動する．サイコロの目の数が$1\text{，}3$のときに限り部屋を移る．また各試行の結果，部屋$\mathrm{A}$に居る場合はその人の持ち点に$1$点を加え，部屋$\mathrm{B}$に居る場合は$1$点を減らす．持ち点は負になることもあるとする．第$n$試行の結果，部屋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に居る確率をそれぞれ$P_{\mathrm{A}}(n)\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(n)$と表す．最初にその人は部屋$\mathrm{A}$に居るものとし（つまり，$P_{\mathrm{A}}(0)=1\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(0)=0$とする），持ち点は$1$とする．

(1)　$P_{\mathrm{A}}(1)\text{，}{P}_{\mathrm{A}}(2)\text{，}{P}_{\mathrm{A}}(3)$および$P_{\mathrm{B}}(1)\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(2)\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(3)$を求めよ．また，第$3$試行の結果，その人が得る持ち点の期待値$E(3)$を求めよ．

(2)　$P_{\mathrm{A}}(n+1)\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(n+1)$を$P_{\mathrm{A}}(n)\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(n)$を用いて表せ．

(3)　$P_{\mathrm{A}}(n)\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(n)$を$n$を用いて表せ．

【１】　次の漸化式で定義される複素数の数列

• $z_1=1$
• $z_{n+1}={\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{2}}{z}_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$z_2\text{，}{z}_3$を求めよ．

(2)　上の漸化式を

$z_{n+1}-\alpha ={\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{2}}(z_n-\alpha )$

と表したとき，複素数$\alpha$を求めよ．

(3)　一般項$z_n$を求めよ．

(4)　$z_n=-{\displaystyle \frac{1-i\sqrt{3}}{2}}$となるような自然数$n$をすべて求めよ．

【２】　$A$を$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)$（ただし，$bc\ne 0\text{），}k$を実数とする．

　行列$X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& -x\end{array}\right)$について等式

$XA-AX=kA\cdots$(＊)

を考える．ただし，行列の成分は，すべて実数とする．

(1)　$k=0$のとき，(＊)を満たす$X$は$A$の実数倍であることを示せ．

(2)　$k\ne 0$のとき，(＊)を満たす$X$が存在するための必要十分条件は$A^2=O\text{（ただし，}O$は零行列）であることを示せ．このとき，(＊)を満たす$X$で$z=c$であるものを求めよ．

【３】　$a$を$1$以上の実数，$b$を正の実数とする．

(1)　$0$以上のすべての実数$x$について，不等式$e^x-a(x+2b)\geqq 0$が成り立つための，$a\text{，}b$の満たすべき条件を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(2)　$a\text{，}b$が(1)で求めた範囲を動くとき，定積分

${\displaystyle \frac{1}{a{e}^b}}{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{x+2b}}dx$

の値を最小にする$a\text{，}b$と，その最小値を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を正の実数とする．空間内の$2$点$\mathrm{A}(0,a,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0,b)$を通る直線を$l$とする．直線$l$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる図形を$M$とする．

(1)　$x$座標の値が$t$であるような直線$l$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　図形$M$と$xy$平面が交わって得られる図形の方程式を求めよ．

(3)　図形$M$と$2$つの平面$x=0$と$x=1$で囲まれた立体の体積を求めよ．

【５】　ある人がサイコロを振る試行によって，部屋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を移動する．サイコロの目の数が$1\text{，}3$のときに限り部屋を移る．また各試行の結果，部屋$\mathrm{A}$に居る場合はその人の持ち点に$1$点を加え，部屋$\mathrm{B}$に居る場合は$1$点を減らす．持ち点は負になることもあるとする．第$n$試行の結果，部屋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に居る確率をそれぞれ$P_{\mathrm{A}}(n)\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(n)$と表す．最初にその人は部屋$\mathrm{A}$に居るものとし（つまり，$P_{\mathrm{A}}(0)=1\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(0)=0$とする），持ち点は$1$とする．

(1)　$P_{\mathrm{A}}(1)\text{，}{P}_{\mathrm{A}}(2)\text{，}{P}_{\mathrm{A}}(3)$および$P_{\mathrm{B}}(1)\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(2)\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(3)$を求めよ．また，第$3$試行の結果，その人が得る持ち点の期待値$E(3)$を求めよ．

(2)　$P_{\mathrm{A}}(n+1)\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(n+1)$を$P_{\mathrm{A}}(n)\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(n)$を用いて表せ．

(3)　$P_{\mathrm{A}}(n)\text{，}{P}_{\mathrm{B}}(n)$を$n$を用いて表せ．

(4)　第$n$試行の結果，その人が得る持ち点の期待値$E(n)$を求めよ．