2004　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}p\text{，}q$を実数とし，$p>q$とする．関数$f(x)=x^3+a{x}^2+b$とその導関数$f^{\prime }(x)$がそれぞれ$f(p)=f(q)=0\text{，}{f}^{\prime }(p)=0$を満たすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a>0$のとき，$f(x)$の極大値を$a$の式で表せ．

(2)　$a\ne 0\text{，}p\geqq 0$および$q<0$を示せ．

【２】　$2$曲線$C_1:y=2\sqrt{x-1}\text{，}{C}_2:y=\log (x-1)+2$について，以下の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)　$C_1$と$C_2$がただ$1$つの共有点をもつことを示せ．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2$および$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　$3$次式$f(x)=x^3-a{x}^2+bx-c\text{，}g(x)=x^3-k{x}^2+lx-m$がそれぞれ

$f(x)=(x-p)(x-q)(x-r)\text{，}g(x)=(x-pq)(x-qr)(x-rp)$

のように$1$次式の積で表されるとする．ただし$a\text{，}b\text{，}c\text{，}k\text{，}l\text{，}m\text{，}p\text{，}q\text{，}r$は定数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$k\text{，}l\text{，}m$を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　$f(x)\text{，}g(x)$について，次の$2$つの条件(A)，(B)が成り立つとする．

• (A)　$f(x)=g(x)$が$x$に関する恒等式である．
• (B)　$f(x)$が$x+1$で割り切れる．

　このとき$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【４】　正の数からなる数列$\{a_n\}$が次の条件を満たすとする．

$a_1=1\text{，}{a}_2=e^{\frac{1}{3}}\text{，}{(a_{n+2})}^3{a}_n={(a_{n+1})}^4\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし$e$は自然対数の底である．

(1)　$b_n=\log a_{n+1}-\log a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で与えられる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．ただし，対数は自然対数である．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【５】　空間の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,2,-1)\text{，}\mathrm{B}(2,1,1)\text{，}\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角および$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角がともに$45°$であるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$を$s$とするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$s$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}\geqq 0$が成り立つことを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BP}}$が成り立つような点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

【６】　$\theta$を$0\leqq \theta \leqq 180°$を満たす角とし，$m$を正の実数とする．$2$つの複素数

$\alpha =\sqrt{2}(\cos \theta +i\sin \theta )\text{，}\beta =m\{\cos (\theta +30°)+i\sin (\theta +30°)\}$

が$\beta =\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$を満たすとする．ただし$i$は虚数単位である．

(1)　$\theta$および$m$を求めよ．

(2)　$r=\beta +{\displaystyle \frac{m^2}{\beta }}$とおく．複素数平面上の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がそれぞれ複素数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を表すとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

【７】　$x\text{，}y$を実数とし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．行列$P=\left(\begin{array}{cc}x-1& x\\ x& x+1\end{array}\right)$と$2\times 2$行列$A$が$P^2=PA+yE$を満たすとする．このとき$A^2=(x^2+1)E$が成り立つような$x\text{，}y$の組をすべて求めよ．

【８】　平面において，次の$2$つの条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たす点$(s,t)$の全体が作る図形を$G_0$とする．

• (ⅰ)　$s^2\ne 1$
• (ⅱ)　点$(s,t)$から円$x^2+y^2=1$に引いた$2$つの接線の傾きを$m_1\text{，}{m}_2$とするとき，$m_1{m}_2=-2$

さらに，図形$G_0$と$4$点$(1,1)\text{，}(1,-1)\text{，}(-1,1)\text{，}(-1,-1)$が作る図形を$G$とする．このとき，図形$G$を表す方程式を求めよ．