2004　東北大学　前期MathJax

【１】　曲線$C:y=x^2-2$と直線$L:y=x$があり，曲線$D:y=-{(x-a)}^2+b$が$L$と接している．$C$と$L$の$2$つの交点を結ぶ線分上に$D$と$L$の接点があるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$で表し，$a$の取り得る値の範囲を求めよ．

(2)　$2$つの曲線$C$と$D$によって囲まれる図形の面積$S(a)$を求めよ．

(3)　$a$が動くとき，(2)の面積$S(a)$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　四角形$\mathrm{OABC}$は辺$\mathrm{OA}$を下底，辺$\mathrm{CB}$を上底とし，$\angle \mathrm{AOC}$と$\angle \mathrm{OAB}$が等しい等脚台形である．$a=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|\text{，}$$c=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|\text{，}m=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．

(1)　$m<{\displaystyle \frac{a^2}{2}}$がなりたつことを示せ．

(2)　等脚台形$\mathrm{OABC}$の面積$S$を$a\text{，}c\text{，}m$を用いて表せ．

(3)　対角線$\mathrm{OB}$と$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

【３】　複素数$z\text{，}w$が条件

${\displaystyle \frac{1}{z-i}+\frac{1}{z+i}=\frac{1}{w}}$

を満たしている．ただし，$z\ne \pm i\text{，}w\ne 0$である．$z$の実部，虚部をそれぞれ$x\text{，}y$とし，$w$の実部，虚部をそれぞれ$u\text{，}v$とする．

(1)　${(z-w)}^2$を$u$と$v$で表せ．

(2)　$u=0$ならば，$x=0$であることを示せ．

(3)　$u>0\text{，}v>0\text{，}$かつ$w^2$の実部が$1$となるような$x$を求め，$u$を用いて表せ．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人でじゃんけんをする．一度じゃんけんで負けたものは，以後のじゃんけんから抜ける．残りが$1$人になるまでじゃんけんを繰り返し，最後に残ったものを勝者とする．ただし，あいこの場合も$1$回のじゃんけんを行ったと数える．

(1)　$1$回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ．

(2)　$2$回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ．

(3)　$3$回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ．

(4)　$n\geqq 4$とする．$n$回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ．

【１】　平面ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$は

${|\overrightarrow{a}|}^2=1\text{，}$${|\overrightarrow{b}|}^2={|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$

を満たすとする．

(1)　$k\text{，}l$を整数とする．${|k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b}|}^2$が整数であるための必要十分条件は$l$が偶数であることを示せ．

(2)　${|k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b}|}^2=0$となる整数の組$(k,l)$をすべて求めよ．

(3)　整数の組$(k,l)$を条件$(k,l)\ne (0,0)$のもとで動かすとき，${|k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b}|}^2$の最小値を与える$(k,l)$をすべて求めよ．

【２】　平面上の$3$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$を次で定める．

$\begin{array}{ll}{C}_1:\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{15}{2}}{t}^4\\ y=-3t^5+5t^3\end{array}& (0\leqq t\leqq \sqrt{{\displaystyle \frac{5}{3}}})\\ C_2:\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{125}{6}{\cos }^3(2\pi (-t+\sqrt{\frac{5}{3}}\left)\right)}\\ y={\displaystyle \frac{125}{6}{\sin }^3(2\pi (-t+\sqrt{\frac{5}{3}}\left)\right)}\end{array}& {\displaystyle (\sqrt{\frac{5}{3}}\leqq t\leqq \sqrt{\frac{5}{3}}+\frac{1}{4})}\\ C_3:\{\begin{array}{l}x=0\\ y={\displaystyle \frac{125(t-2)}{6{\displaystyle (\frac{7}{4}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{3}}})}}\end{array}& ({\displaystyle \sqrt{\frac{5}{3}}+\frac{1}{4}}\leqq t\leqq 2)\end{array}$

(1)　$C_1$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$を出発し，$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$を順にたどって$\mathrm{O}$に戻る行程の道のりを求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．$n+1$項の等差数列$x_0\text{，}{x}_1\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$と等比数列$y_0\text{，}{y}_1\text{，}\cdots \text{，}{y}_n$が

• $1=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=2$
• $1=y_0<y_1<y_2<\cdots <y_n=2$

を満たすとし，$P(n)\text{，}Q(n)\text{，}R(n)\text{，}S(n)$を次で定める．

• $P(n)={\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}}\text{，}Q(n)=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$
• $R(n)={\displaystyle \frac{y_1+y_2+\cdots +y_n}{n}}\text{，}S(n)=\sqrt[n]{y_1{y}_2\cdots y_n}$

　このとき極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }P(n)\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }Q(n)\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }R(n)\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }S(n)$をそれぞれ求めよ．

【４】　手作りのサイコロがあり，$1$から$6$のそれぞれの目の出る確率を$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3\text{，}{p}_4\text{，}{p}_5\text{，}{p}_6$で表す．ここで

• $p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6=1$
• $p_1=p_6\text{，}{p}_2=p_5\text{，}{p}_3=p_4$

がなりたつとする．このサイコロを$3$回振ったとき出た目の総和が$n$である確率を$Q(n)$で表す．

(1)　$Q(5)$を$p_1\text{，}{p}_2$で表せ．

(2)　$p_3={\displaystyle \frac{1}{6}}$で$p_1$と$p_2$は不明であるとする．$Q(7)$が取り得る最大の値は何か．また，そのときの$p_1\text{，}{p}_2$を求めよ．

【５】　$z$を絶対値が$1$の複素数とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$z^3-z$の実部が$0$となるような$z$をすべて求めよ．

(2)　$z^5+z$の絶対値が$1$となるような$z$をすべて求めよ．

(3)　$n$を自然数とする．$z^n+1$の絶対値が$1$となるような$z$をすべてかけ合わせて得られる複素数を求めよ．

【６】　$2$次正方行列$A\text{，}B$を次で定める．

$A=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{-1}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}B={\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)}$

(1)　積$AA\text{，}BB\text{，}AB\text{，}BA$を計算せよ．

(2)　集合$\{A,B\}$から重複を許していくつか取り出し，いろいろな順番に並べて積を計算する．このようにして得られる行列をすべて求めよ．

文系・理系の学部・学科別

文系　文学部・教育学部・法学部・経済学部・医学部保健学科看護学専攻

理系　理学部・工学部・歯学部・薬学部・農学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）