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2004-10241-0201
2004 千葉大学 前期 数学III・数学C
教育学部中学校教員養成課程
(自然教育・技術教育系(数学科分野),情報教育系)
易□ 並□ 難□
【1】 y=x 2 のグラフと y = 14 ⁢x2 +3 のグラフで囲まれた部分を図形 F とする.
(1) 図形 F の面積を求めよ.
(2) 図形 F を x 軸の回りに 1 回転させてできる回転体の体積を求めよ.
2004-10241-0202
【2】 関数 f n⁡( x)=( x−1 )⁢e − xn (n は正の整数) について
(1) limx →∞ ⁡f n⁡( x) を求めよ.
ただし, limx →∞ ⁡x e−x =0 が成り立つことを用いてもよい.
(2) 関数 y= fn ⁡(x ) のグラフを描け.
(3) (2)のグラフ上の点で, y 座標を最大にする点を P n とする.点 P n から x 軸に垂線を引き, x 軸との交点を Q n とする.また,点 (1 ,0) を R とする.曲線 y =fn ⁡( x) と線分 RQ n および線分 P nQ n で囲まれる部分の面積を S n とする.
このとき, limn →∞ ⁡ Sn n2 を求めよ.
2004-10241-0203
自然教育・技術教育系は必須,
情報教育系は【3】か【4】から1題選択
【3】 行列 A =( 01 −2 3 ), B= (1 0 02 ) ,P =( 11 a b ) について A ⁢P=P ⁢B が成り立つ.
(1) a ,b の値を求めよ.
(2) P の逆行列 P −1 を求めよ.
(3) 任意の正の整数 n について A n を求めよ.
(4) ∑k =1n ⁡A k を求めよ.ただし, n は正の整数である.
2004-10241-0204
教育学部中学校教員養成課程(情報教育系)
【3】か【4】から1題選択
【4】 f⁡(x )=x 2− 11 とする.関数 y =f⁡ (x) のグラフ上の任意の点 (a ,f⁡( a)) における接線が x 軸と交わる点の x 座標を p ⁡(a ) とする.
ただし, a≠0 である.
(1) p⁡(a ) を求めよ.
(2) 11< a のとき, 11< p⁡( a)< a が成り立つことを示せ.
(3) 11< a のとき, p⁡ (a) −11 < 12 ⁢( a− 11) が成り立つことを示せ.
(4) x1= 4 ,x n+1 =p( xn )( n=1 , 2 , ⋯) によって,数列 {x n} を定めるとき, limn →∞ ⁡x n=11 となることを示せ.