2004　一橋大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{H}$を$1$辺の長さが$1$の正六角形とする．

(1)　$\mathrm{H}$の中にある正方形のうち，$1$辺が$\mathrm{H}$の$1$辺と平行なものの面積の最大値を求めよ．

(2)　$\mathrm{H}$の中にある長方形のうち，$1$辺が$\mathrm{H}$の$1$辺と平行なものの面積の最大値を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$は整数で，$a<b<c$をみたす．放物線$y=x^2$上に$3$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)\text{，}\mathrm{C}(c,c^2)$をとる．

(1)　$\angle \mathrm{BAC}=60°$とはならないことを示せ．ただし，$\sqrt{3}$が無理数であることを証明なしに用いてよい．

(2)　$a=-3$のとき，$\angle \mathrm{BAC}=45°$となる組$(b,c)$をすべて求めよ．

【３】　複素数平面上に異なる$3$点$z\text{，}{z}^2\text{，}{z}^3$がある．

(1)　$z\text{，}{z}^2\text{，}{z}^3$が同一直線上にあるような$z$をすべて求めよ．

(2)　$z\text{，}{z}^2\text{，}{z}^3$が二等辺三角形の頂点になるような$z$の全体を複素数平面上に図示せよ．また，$z\text{，}{z}^2\text{，}{z}^3$が正三角形の頂点になるような$z$をすべて求めよ．

【４】　$a$は実数とし，$f(x)=x^3+a{x}^2-8a^{2}x\text{，}g(x)=3a{x}^2-9a^{2}x$とおく．

(1)　曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点$\mathrm{P}$において両方の曲線と接する直線が存在する．このとき$\mathrm{P}$の座標を$a$で表せ．

(2)　次の条件(ⅰ)および(ⅱ)をみたす直線$l$が$3$本存在するような点$(u,v)$の範囲を図示せよ．

• (ⅰ)　$l$は点$(u,v)$を通る．
• (ⅱ)　$l$は曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点$\mathrm{P}$において両方の曲線と接する．

【５】　$n$枚のカードがあり，$1$枚目のカードに$1\text{，}2$枚目のカードに$2\text{，}\cdots \text{，}n$枚目のカードに$n$が書かれている．これらの$n$枚のカードから無作為に$1$枚を取り出してもとに戻し，もう一度無作為に$1$枚を取り出す．取り出されたカードに書かれている数をそれぞれ$x\text{，}y$とする．また，$k$を$n$の約数とする．

(1)　$x+y$が$k$の倍数となる確率を求めよ．

(2)　さらに，$k=pq$とする．ただし，$p\text{，}q$は異なる素数である．$xy$が$k$の倍数となる確率を求めよ．