2004　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　次の不等式を証明せよ．

(1)　$x>0\text{，}y>0$のとき，

${\displaystyle \frac{x+y}{2}}\geqq \sqrt{xy}$

(2)　$x>1\text{，}y>1$のとき，

${{\displaystyle ({\log }_{10}\frac{x+y}{2})}}^2\geqq {\log }_{10}x\cdot {\log }_{10}y$

(3)　$x>1$のとき，

${\log }_x(1+x)>{\log }_{1+x}(2+x)$

【２】　座標平面上で，原点$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(x,y)$に対し，$\mathrm{O}$を端点とする半直線$\mathrm{OP}$上に点$\mathrm{Q}(X,Y)$を$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}=4$が成り立つようにとるものとする．

(1)　$X\text{，}Y$を$x\text{，}y$で表せ．

(2)　$\mathrm{P}$が

$\{\begin{array}{l}x+y\geqq 2\\ x^2+y^2\leqq 4\end{array}$

で表される領域を動くとき，$\mathrm{Q}$の存在する領域を$D$とする．$D$を不等式で表せ．

(3)　(2)で求めた範囲$D$を図示し，その面積を求めよ．

【３】　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\theta \text{，}u\text{，}v$は角であり，$\alpha \text{，}\beta$は$0°<\beta -\alpha <180°$を満たす．ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$を次のように定める．

• $\overrightarrow{a}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )\text{，}\overrightarrow{b}=(\cos \beta ,\sin \beta )\text{，}$
• $\overrightarrow{c}=(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\overrightarrow{p}=(\cos u,\sin u)\text{，}$
• $\overrightarrow{q}=(\cos v,\sin v)$

(1)　$\overrightarrow{c}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$を満たす実数$s\text{，}t$を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\theta$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{p}$が$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}\leqq 0\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}\leqq 0$を満たすとき，$\alpha \leqq \theta \leqq \beta$の範囲の全ての$\theta$に対して，$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{p}\leqq 0$が成り立つことを示せ．

(3)　$\alpha \leqq \theta \leqq \beta$の範囲のすべての$\theta$に対して，$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{p}\leqq 0$が成り立つような$u$の範囲を求めよ．

(4)　(3)で求めた範囲のすべての$u$に対して，$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}\leqq 0$が成り立つような$v$の範囲を求めよ．

【１】　関数$f(x)=x(1-x)e^{-x}$に対して，$f(x)$の表す曲線を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$C$の概形を描け．$C$の凹凸も調べること．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$を証明なしに用いてもよい．

(2)　原点$(0,0)$を通り，原点以外の点で$C$に接する直線を$l$とする．$C$と$l$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に円$C:{(x-1)}^2+y^2=r^2\text{（}r>0\text{）}$がある．$C$上の点$\mathrm{P}$（ただし，$r=1$のときは，$\mathrm{P}$は$\mathrm{O}$ではないとする）に対して，$\mathrm{O}$を端点とし$\mathrm{P}$を通る半直線上に

$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}=3$

をみたす点$\mathrm{Q}$を定める．$\mathrm{P}$が$C$上を（ただし，$r=1$のときは$\mathrm{O}$を除いて）動くとき，$\mathrm{Q}$が描く軌跡を$T$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$r=1$のときの$T$の方程式を求めよ．

(2)　$r\ne 1$のとき，$T$は円であることを示し，その中心と半径を求めよ．

【３】　異なる複素数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が

$2{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2-2\alpha \beta -2\alpha \gamma =0$

をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}$の値を求めよ．

(2)　複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )\text{，}\mathrm{C}(\gamma )$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．

(3)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が$x$の$3$次方程式

$x^3+kx+20=0\text{（}k\text{は実数の定数）}$

の解であるとき，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$および$k$を求めよ．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$があり辺$\mathrm{AB}$を$k:1\text{（}k>1\text{）}$に外分する点を$\mathrm{D}$とする．辺$\mathrm{AC}$を$x:1\text{（}x>0\text{）}$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{PD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．面積比${\displaystyle \frac{▵\mathrm{PBQ}}{▵\mathrm{ABC}}}$を$f(x)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}k\text{，}x$で表せ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

(3)　$x$が$x>0$の範囲を動くとき，$f(x)$を最大にする$x$を$k$で表せ．

【５】　$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．半径${\displaystyle \frac{1}{n}}\text{（}n\text{は自然数）}$の円$C_n$が，$C$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_n$上の点$\mathrm{P}$の軌跡を考える．ただし，最初$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}(1,0)$に一致していたとする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{O}$を端点とし$C_n$の中心を通る半直線が$x$軸の正の向きとなす角が$\theta$となるときの$\mathrm{P}$の座標を$n$と$\theta$で表せ．

(2)　$\mathrm{P}$がはじめて$\mathrm{A}$に戻るまでの$\mathrm{P}$の軌跡の長さ$l_n$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$l_n$に対し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{l}_n$を求めよ．