2004　金沢大学　前期MathJax

【１】　座標平面上で動点$\mathrm{P}$が，$x$軸の正の方向へ$1$進むことを文字$\mathrm{a}$で表し，$y$軸の正の方向へ$1$進むことを文字$\mathrm{b}$で表し，停留することを文字$\mathrm{c}$で表す．$\mathrm{a}\text{，}\mathrm{b}\text{，}\mathrm{c}$からなる文字列が与えられたとき，点$\mathrm{P}$は原点を出発し，その文字列に従って移動する．たとえば，長さ$4$の文字列$\mathrm{acab}$に対しては，点$\mathrm{P}$は原点$(0,0)$から出発して，$(1,0)\text{，}(1,0)\text{，}(2,0)\text{，}(2,1)$と移動し，点$(2,1)$が到達点となる．

(1)　$n$を自然数とする．長さ$n$の文字列のなかで，点$\mathrm{P}$の到達点の$x$座標と$y$座標の和が$n$となる文字列は何個あるか．また，その理由を説明せよ．

(2)　$k\text{，}n$を自然数とし，$1\leqq k\leqq n$とする．長さ$n$の文字列のなかで，点$\mathrm{P}$の到達点の$x$座標と$y$座標の和が$k$となる文字列の個数を$F_n(k)$とする．$F_n(k)$を$k$と$n$を用いて表せ．

(3)　自然数$n$が与えられたとき，$F_n(k)$が最大になる自然数$k$の値を求めよ．

【２】　座標平面上の曲線$C:y=|x^2-1|$と傾き$a$の直線$l:y=a(x+1)$が異なる$3$点で交わっているとする．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$C$と$l$で囲まれた$2$つの図形の面積の和$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　$S$が最小になる$a$の値を求めよ．

【３】　複素数$z$に対し，$w=i{z}^2$とおく．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$z=a(\cos \theta +i\sin \theta )$（$a$は正の実数）において，$\theta$が$0°\leqq \theta \leqq 90°$の範囲を動くとき，$w$がえがく図形を複素数平面上に図示せよ．

(2)　$z=x+iy$（$x\text{，}y$は実数）が直線$x=1$上を動くとき，$w$がえがく図形を複素数平面上に図示せよ．

(3)　$z=x+iy$（$x\text{，}y$は実数）において，$x\text{，}y$が$0\leqq x\leqq 1\text{，}0\leqq y\leqq 1\text{，}{x}^2+y^2\geqq 1$をみたしながら動くとき，$w$が動く範囲を複素数平面上に図示せよ．

【１】　座標平面上で動点$\mathrm{P}$が，$x$軸の正の方向へ$1$進むことを文字$\mathrm{a}$で表し，$y$軸の正の方向へ$1$進むことを文字$\mathrm{b}$で表し，停留することを文字$\mathrm{c}$で表す．$\mathrm{a}\text{，}\mathrm{b}\text{，}\mathrm{c}$からなる文字列が与えられたとき，点$\mathrm{P}$は原点を出発し，その文字列に従って移動する．たとえば，長さ$4$の文字列$\mathrm{acab}$に対しては，点$\mathrm{P}$は原点$(0,0)$から出発して，$(1,0)\text{，}(1,0)\text{，}(2,0)\text{，}(2,1)$と移動し，点$(2,1)$が到達点となる．長さ$n$の文字列のなかで，点$\mathrm{P}$の到達点が$(p,q)$となる文字列の個数を$F_n(p,q)$とする．

(1)　$F_n(p,q)$を$p\text{，}q\text{，}n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数，$p\text{，}q$は$p\geqq 0\text{，}q\geqq 0\text{，}p+q\leqq n$の範囲の整数とする．

(2)　自然数$n$が与えられているとき，$F_n(p-1,q)\leqq F_n(p,q)$をみたす整数$p\text{，}q$の組$(p,q)\text{（}p\geqq 1\text{，}q\geqq 0\text{，}p+q\leqq n\text{）}$の範囲を図示せよ．また，$F_n(p,q-1)\leqq F_n(p,q)$をみたす整数$p\text{，}q$の組$(p,q)\text{（}p\geqq 0\text{，}q\geqq 1\text{，}p+q\leqq n\text{）}$の範囲を図示せよ．

(3)　$n+1$が$3$の倍数となる自然数$n$が与えられているとき，$F_n(p,q)$が最大になる自然数$p\text{，}q$の組$(p,q)$をすべて求めよ．

【２】　複素数平面上で中心が$1\text{，}$半径$1$の円を$C$とする．以下，$i$は虚数単位とする．

(1)　$C$上の点$z=1+\cos t+i\sin t\text{（}-\pi <t<\pi \text{）}$について，$z$の絶対値および偏角を$t$を用いて表せ．また${\displaystyle \frac{1}{z^2}}$を極形式で表せ．

(2)　$z$が円$C$上の$0$でない点を動くとき，$w={\displaystyle \frac{2i}{z^2}}$は複素数平面上で放物線をえがくことを示し，この放物線を図示せよ．

【３】　座標平面上で，半径$r$の$2$つの円$O_1\text{，}{O}_2$の中心をそれぞれ$(r,r)\text{，}(1-r,1-r)$とする．円$O_1$の内部と円$O_2$の内部の少なくとも一方に属する点からなる領域を$D$とし，領域$D$の面積を$S$とする．以下，$r$は$0<r\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲を動くとする．

(1)　円$O_1$と円$O_2$が接するときの半径$r$の値を求めよ．

(2)　円$O_1$と円$O_2$が$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるとする．$\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\angle \mathrm{P}{\mathrm{O}}_1\mathrm{Q}$とおいて，半径$r$と面積$S$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　面積$S$が最大となる半径$r$の値を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{e^{-x}+1}}$のグラフの概形をかけ．

(2)　$g_a(r)={\displaystyle {\int }_{-1}^r}\left({\displaystyle \frac{1}{e^{-x}+1}-\frac{1}{e^{a-x}+1}}\right)dx$とする．ただし，$a>0$である．このとき，$\underset{r\to \infty }{\lim }{g}_a\left(r\right)$を求めよ．

(3)　$h(a)=\underset{r\to \infty }{\lim }{g}_a(r)$とおく．このとき，$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{h(a)}{a}}$を求めよ．