2004　名古屋大学　後期MathJax

【１】　実数$a$に対して，点$(a,1)$を通り傾きが$a$の直線と曲線$y=|x^2-4|$との交点の個数を求めよ．

【２】　$a$を正の実数とし，$f(x)=2x^3-3a(a+1)x^2+6a^{3}x$に対して，

$g(a)={\displaystyle \frac{1}{a^3}}{\displaystyle {\int }_0^a}|f^{\prime }(x)|dx$

とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$g(a)$を求めよ．

(2)　$g(a)$の最小値を求めよ．

【３】(a)　自然数$n$に対して，$a_n$と$b_n$を

${(3+2\sqrt{2})}^n=a_n+b_n\sqrt{2}$

を満たす自然数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 2$のとき，$a_n$および$b_n$を$a_{n-1}$と$b_{n-1}$を用いて表せ．

(2)　${a_n}^2-2{b_n}^2$を求めよ．

(3)　(2)を用いて，$\sqrt{2}$を誤差${\displaystyle \frac{1}{10000}}$未満で近似する有理数を$1$つ求めよ．

【３】(b)　点$\mathrm{A}$が数直線上をサイコロの出た目に応じて正の方向へ移動する．移動する距離は，出た目が$1$のときは$1\text{，}2$のときは$2\text{，}3$以上のときは$3$とし，点$\mathrm{A}$の出発点は原点とする．サイコロを$n$回振ったときの点$\mathrm{A}$の位置を$3$で割った余りが，$0$である確率を$p_n\text{，}1$である確率を$q_n\text{，}2$である確率を$r_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p_n$と$p_{n-1}$の関係を求めよ．

(2)　$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$を求めよ．

【１】　$a$を正の定数とする．放物線$P:y=a{x}^2$上の動点$\mathrm{A}$を中心とし$x$軸に接する円を$C$とする．動点$\mathrm{A}$が放物線$P$上のすべての点を動くとき，座標平面上で$y>0$の表す領域において，どの円$C$の内部にも含まれない点がある．この点の集まりを図示せよ．

【２】　実数$a\text{，}b$が$0<a<b<1$を満たすとき，${\displaystyle \frac{2^a-2a}{a-1}}$と${\displaystyle \frac{2^b-2b}{b-1}}$の大小を比較せよ．

【３】(b)　点$\mathrm{A}$が数直線上をサイコロの出た目に応じて正の方向へ移動する．移動する距離は，出た目が$1$のときは$1\text{，}2$のときは$2\text{，}3$以上のときは$3$とし，点$\mathrm{A}$の出発点は原点とする．サイコロを$n$回振ったときの点$\mathrm{A}$の位置を$3$で割った余りが，$0$である確率を$p_n\text{，}1$である確率を$q_n\text{，}2$である確率を$r_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p_n$と$p_{n-1}$の関係を求めよ．

(2)　$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$を求めよ．

(3)　$n\to \infty$のとき，$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$の極限値を求めよ．

【１】(1)　$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$のグラフ$y=f(x)$は必ずある定点$\mathrm{P}$に関して対称となることを証明し，その定点$\mathrm{P}$を求めよ．

(2)　$4$次関数$g(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$のグラフ$y=g(x)$が，$y$軸に平行なある直線$l$に関して対称となるための必要十分条件を係数の間の関係式として求めよ．また，直線$l$を求めよ．

(補足)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とあるのは，全て実数の定数です．

【２】(1)　$q\ne 1$である定数$q$に対して，$2$つの正方行列$A\text{，}B$は関係式$BA=qAB$を満たすものとする．自然数$n$と$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対しては，${}_{n}C_k(q)$を

${}_{n}C_k(q)={\displaystyle \frac{(1-q^n)(1-q^{n-1})\cdot \cdots \cdot (1-q^{n-k+1})}{(1-q^k)(1-q^{k-1})\cdot \cdots \cdot (1-q)}}$

と定義し，$k=0$に対しては，${}_{n}C_0(q)=1$と定義する．このとき，

(イ)　${}_{n+1}C_k(q)={}_{n}C_k(q)+q^{n+1-k}{}_{n}C_{k-1}(q)\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$が成り立つことを示せ．さらに，

(ロ)　${(A+B)}^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{}_{n}C_k(q)A^{n-k}{B}^k$が成り立つことを示せ．

(2)　定数$q\text{（}\ne 0\text{，}1\text{）}$が与えられたものとして，関係式$BA=qAB$を満たす$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ u& v\end{array}\right)$について考えよう．

(イ)　$AB=BA=O\text{，}A\ne O\text{，}B\ne O$となる例をあげよ．ここで，$O$は零行列である．

(ロ)　$BA=qAB\text{，}BA\ne O$となる例をあげよ．

【１】　座標空間において，点$\mathrm{C}(0,0,1)$を中心とする半径$1$の球面$S$

$x^2+y^2+{(z-1)}^2=1$

を考える．点$\mathrm{C}$と$S$上の点$\mathrm{P}(x_1,y_1,z_1)$（ただし，$z_1\ne 1$）を通る直線が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{Q}(u,v,0)$とする．つぎの各問に答えよ．

(1)　$u$と$v$をそれぞれ$x_1\text{，}{y}_1\text{，}{z}_1$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$S$上の$z<1$の部分を動くとき，点$\mathrm{Q}$は$xy$平面全体を動くことを証明せよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$S$上の$z<1$かつ$x=a$（$a$は$0<a<1$を満たす定数）の部分を動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く図形の方程式を求めよ．

【２】　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$（$a\text{，}b\text{，}c$は実数の定数）とし，方程式$f(x)=0$の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とする．以下の$2$つの条件が成り立つものとする．

$\text{i)}$　曲線$y=f(x)$上の点$(3,f(3))$における接線の方程式は$y=3x-16$であり，また，曲線$y=f(x)$とこの接線とは$x<3$の範囲で交わる．

$\text{ii)}$　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )\text{，}\mathrm{C}(\gamma )$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$は正三角形である．

　このとき，つぎの各問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(2)　複素数平面上で，$▵\mathrm{ABC}$と，$2{|z|}^2=d(z+\bar{z})$（$d$は実数の定数，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数）を満たす点$z$の全体が表す図形とが共有点を持つような$d$の範囲を求めよ．

【３】　点$\mathrm{P}$は$x$軸上を，時刻$t=0$から$t=t_1$までは速度$v(t)=a\sqrt{t}$（$a$は$a>0$を満たす定数）で運動し，時刻$t=t_1$からは加速度$b$（$b$は$b<0$を満たす定数）で原則して時刻$t=t_2$で速度が$0$になって停止する．つぎの各問に答えよ．

(1)　$a=12$かつ$b=-12$のとき，点$\mathrm{P}$が時刻$t=0$から$t=t_2$までの間に動いた道のりが$88$になるための$t_1$の値（原則を開始する時刻）とそのときの速度$v(t_1)$の値を求めよ．

(2)　$a$と$b$が$ab=-144$を満たすものとする．$v(t_1)=24$であるとき，点$\mathrm{P}$が時刻$t=0$から$t=t_2$までの間に動いた道のりが最小になるような$a\text{，}b$の値と，そのときの道のりを求めよ．

【４】　$n$枚のカードがあり，そのうちの$1$枚にだけ「当たり」の印がついている．ただし，$n\geqq 3$である．最初，甲と乙の$2$人の前に，この$n$枚のカードが伏せて並べてある．以下の一連の手順により，甲がカードを$1$枚取得する．ただし，甲は手順が終了して初めてカードの「当たり」の印の有無を見ることができ，それまでは見ることができないものとする．

〔手順〕

$\text{①}$　甲がカードを$1$枚取る．

$\text{②}$　乙が残ったカードを調べ，その中から印のないものを$1$枚取り除く．

$\text{③}$　甲は手持ちのカードを，並べてあるカードのうちの$1$枚と交換してもよい．

$\text{④}$　乙は$\text{②}$で取り除いたカードを戻し，戻されたカードがどこにあ るか甲にわからないように，カードを並べ替える．

$\text{⑤}$　甲は手持ちのカードを，並べてあるカードのうちの$1$枚と交換してもよい．

　つぎの各問に答えよ．

(1)　$\text{③}$で甲がカードを交換した場合としなかった場合で，どちらが$\text{③}$が終了した時点で甲の手持ちのカードが「当たり」である確率が高いか．

(2)　手順の終了時に甲が取得したカードが「当たり」である確率を最も高くするカードの交換の仕方（$\text{③}$と$\text{⑤}$のそれぞれでカードを交換するかどうか）を求めよ．

(3)　手順の終了時に甲が取得したカードが「当たり」である確率を最も低くするカードの交換の仕方を求めよ．

(4)　$\text{④}$で，乙が戻すカードに，ある一定の確率$p$で「当たり」の印をつけるものとする．このとき，上の問(2)で求められたカードの交換の仕方によって甲が取得したカードが「当たり」である確率を$p_{\mathrm{A}}\text{，}$問(3)で求められたカードの交換の仕方によって取得したカードが「当たり」である確率を$p_{\mathrm{B}}$とする．$p_{\mathrm{B}}>p_{\mathrm{A}}$となるための$p$の条件を求めよ．