2004　大阪大学　前期MathJax

【１】　$3$次関数$f(x)=x^3+3a{x}^2+bx+c$に関して以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が極値をもつための条件を，$f(x)$の係数を用いて表せ．

(2)　$f(x)$が$x=\alpha$で極大，$x=\beta$で極小になるとき，点$(\alpha ,f(\alpha ))$と点$(\beta ,f(\beta ))$を結ぶ直線の傾き$m$を$f(x)$の係数を用いて表せ．また，$y=f(x)$のグラフは平行移動によって$y=x^3+{\displaystyle \frac{3}{2}}mx$のグラフに移ることを示せ．

【２】　座標平面上で不等式$y\geqq x^2$の表す領域を$D$とする．$D$内にあり$y$軸上に中心をもち原点を通る円のうち，最も半径の大きい円を$C_1$とする．自然数$n$について，円$C_n$が定まったとき，$C_n$の上部で$C_n$に外接する円で，$D$内にあり$y$軸上に中心をもつもののうち，最も半径の大きい円を$C_{n+1}$とする．$C_n$の半径を$a_n$とし，$b_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき$a_n$を$b_{n-1}$で表せ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．

【３】　$n$を自然数とする．プレイヤー$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がサイコロを交互に投げるゲームをする．最初は$\mathrm{A}$が投げ，先に$1$の目を出した方を勝ちとして終わる．ただし，$\mathrm{A}$が$n$回投げても勝負がつかない場合は$\mathrm{B}$の勝ちとする．

(1)　$\mathrm{A}$の$k$投目（$1\leqq k\leqq n$）で$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

(2)　このゲームにおいて$\mathrm{A}$が勝つ確率$P_n$を求めよ．

(3)　$P_n>{\displaystyle \frac{1}{2}}$となるような最小の$n$の値を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$として計算してよい．

【１】　$n$を自然数とする．

(1)　$n$個の複素数$z_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$が

$0\leqq \arg z_k\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

をみたすならば，不等式

${|z_1|}^2+{|z_2|}^2+\cdots +{|z_n|}^2\leqq {|z_1+z_2+\cdots +z_n|}^2$

が成り立つことを示せ．

(2)　$n$個の実数${\theta }_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$が

$0\leqq {\theta }_k\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$かつ$\cos {\theta }_1+\cos {\theta }_2+\cdots +\cos {\theta }_n=1$

をみたすならば，不等式

$\sqrt{n-1}\leqq \sin {\theta }_1+\sin {\theta }_2+\cdots +\sin {\theta }_n$

が成り立つことを示せ．

【２】　素数$p\text{，}q$に対して

$a_n=p^n-4{(-q)}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって整数$a_n$を定める．ただし，$p>2q$とする．

(1)　$a_1$と$a_2$が$1$より大きい公約数$m$をもつならば，$m=3$であることを示せ．

(2)　$a_n$がすべて$3$の倍数であるような$p\text{，}q$のうちで積$pq$が最小となるものを求めよ．

【３】　$n$を$3$以上の自然数とする．点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円において，円周を$n$等分する点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n-1}$を時計回りにとる．各$i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して，直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{i-1}\text{，}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_i$とそれぞれ点${\mathrm{P}}_{i-1}\text{，}{\mathrm{P}}_i$で接するような放物線を$C_i$とする．ただし，${\mathrm{P}}_n={\mathrm{P}}_0$とする．放物線$C_1\text{，}{\mathrm{C}}_2\text{，}\cdots \text{，}{C}_n$によって囲まれる部分の面積を$S_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}r$に対し数列$\left\{x_n\right\}$を

$\{\begin{array}{l}{x}_1=a\text{，}\\ x_{n+1}=r{x}_n(1-x_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

で定める．

(1)　すべての$n$について$x_n=a$となるような$a$を求めよ．

(2)　$x_2\ne a\text{，}{x}_3=a$となるような$a$の個数を求めよ．

(3)　$0\leqq a\leqq 1$となるすべての$a$について$0\leqq x_n\leqq 1\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つような$r$の範囲を求めよ．

【５】　座標平面上に直線$l:x\sin \theta +y\cos \theta =1\text{（}0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{）}$がある．不等式$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}x\sin \theta +y\cos \theta \geqq 1$が表す領域を$D\text{，}$不等式$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}x\sin \theta +y\cos \theta \leqq 1$が表す領域を$D^{\prime }$とする．

　$D$内に半径$R$の$2$つの円$C_1\text{，}{C}_2$を，$C_1$は$l$と$y$軸に接し，$C_2$は$l$と$x$軸に接し，さらに$C_1$と$C_2$が外接するようにとる．また$D^{\prime }$内に半径$r$の$2$つの円${C_1}^{\prime }\text{，}{C_2}^{\prime }$を，${C_1}^{\prime }$は$l$と$y$軸に接し，${C_2}^{\prime }$は$l$と$x$軸に接し，さらに${C_1}^{\prime }$と${C_2}^{\prime }$が外接するようにとる．

(1)　${\displaystyle \frac{r}{R}}$を$\theta$で表せ．

(2)　$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，${\displaystyle \frac{r}{R}}$のとりうる値の範囲を求めよ．