2004　大阪大学　後期MathJax

【１】　次の文章を読み，後の問いに答えよ．

(1)　上と同様の方法により，恒等式

${(x+1)}^4-x^4=4x^3+6x^2+4x+1$

を用いて和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^3$を求めよ．

(2)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^5$が$n$について$6$次式で表されることを示し，$6$次の項の係数と$5$次の項の係数を求めよ．

【２】　双曲線$x^2-y^2=a^2\text{（}a>0\text{）}$上の点$\mathrm{P}(s,t)\text{（}s>0\text{，}t>0\text{）}$における法線$m$が，双曲線$y^2-x^2=b^2\text{（}b>0\text{）}$に点$\mathrm{Q}$で接するとする．

(1)　$s^2\text{，}{t}^2$を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}}$を$a\text{，}b$で表せ．また$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．ただし$\mathrm{O}$は$xy$平面の原点とする．

【３】　関数

$f(x)=-x^2\log x\text{（}x>0\text{）}$

を考える．ただし対数は自然対数とする．

(1)　曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線が原点を通るとき，接線の方程式および接点の座標を求めよ．

(2)　$p$を(1)で求めた接線の傾きとするとき，$x>0$において

$-x\log x\leqq p$

が成り立つことを示せ．

(3)　極限$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$を求めよ．

(4)　積分

$S(b)={\displaystyle {\int }_b^1}|f(x)-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2|dx\text{（}0<b\leqq 1\text{）}$

を考える．このとき$\underset{b\to 0}{\lim }S(b)$を求めよ．

【４】　$xyz$空間内の$6$点

• ${\mathrm{P}}_1(0,0,0)\text{，}{\mathrm{P}}_2(1,0,0)\text{，}{\mathrm{P}}_3({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0)\text{，}$
• ${\mathrm{Q}}_1(0,0,1)\text{，}{\mathrm{Q}}_2(1,0,1)\text{，}{\mathrm{Q}}_3({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},1)$

を考える．今，点$\mathrm{P}$が時刻$0$に${\mathrm{P}}_1$を出発して正三角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の周上を一定の速さ$1$で進み，${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$を回って${\mathrm{P}}_1$に戻ってくる．また，点$\mathrm{Q}$が時刻$0$に${\mathrm{Q}}_2$を出発して正三角形${\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{Q}}_1$の周上を$\mathrm{P}$と同じ速さで進み，${\mathrm{Q}}_3\text{，}{\mathrm{Q}}_1$を回って${\mathrm{Q}}_2$に戻ってくる．このとき線分$\mathrm{PQ}$が動くことによってできる面と三角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3\text{，}$三角形${\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{Q}}_1$で囲まれる立体を$K$とする．

(1)　$0\leqq a\leqq 1$とする．時刻$t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$における線分$\mathrm{PQ}$と平面$z=a$の交点の座標を求めよ．

(2)　平面$z=a\text{（}0\leqq a\leqq 1\text{）}$による$K$の切り口の面積を求めよ．

(3)　$K$の体積を求めよ．