2004　九州大学　後期理学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$3^{11}\times 4^5\times 7^8\times 12$と$8^6\times 9^4\times 11$の最大公約数および最小公倍数を求めよ．

(2)　$1000$以下の自然数のうち，$7$で割り切れず，$11$で割り切れるものの個数を求めよ．

(3)　$5$を加えると$7$で割り切れ，$7$を加えると$11$で割り切れる$4$けたの自然数のうち最小のものを求めよ．

【２】　$xy$平面上に，原点を中心とする半径$1$の円$C\text{，}$点$\mathrm{A}(a,0)\text{（}0<a<1\text{），}$点$\mathrm{B}(-1,0)$が与えられている．点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，距離$\mathrm{AP}$と距離$\mathrm{BP}$の和の最大値を$a$を用いて表せ．

【３】　$2$以上の自然数$n$に対して

$a_n={\displaystyle \frac{1}{2}\log \frac{3}{2}+\frac{1}{3}\log \frac{4}{3}+\cdots +\frac{1}{n}\log \frac{n+1}{n}}$

とおく．すべての$2$以上の自然数$n$に対して次の不等式が成り立つことを示せ．

(1)　$a_n\leqq {\displaystyle {\int }_1^n}{\displaystyle \frac{1}{x}\log (1+\frac{1}{x})dx}$．

(2)　${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^1}{\displaystyle \frac{\log (1+x)}{x}}dx<1$．

(3)　$0<a_n<1$．

【４】　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(\sqrt{2},0)\text{，}\mathrm{B}(0,\sqrt{2})$をとる．

(1)　距離$\mathrm{OP}$と距離$\mathrm{AP}$の差$|\mathrm{OP}-\mathrm{AP}|$が$1$であるような点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡の方程式を求めよ．

(2)　距離$\mathrm{OP}$と距離$\mathrm{AP}$がともに自然数ならば，$|\mathrm{OP}-\mathrm{AP}|$の値は$0$または$1$であることを示せ．

(3)　距離$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BP}$がすべて自然数であるような点$\mathrm{P}$をすべて求めよ．