Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2004年度一覧へ
大学別一覧へ
熊本大学一覧へ
2004-10901-0101
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF)へ
2004 熊本大学 前期
理,工,医,薬,教育学部
易□ 並□ 難□
【1】 円 C 1:x 2+y 2=1 と円 C 2: (x- 2) 2+ (y- 4) 2=5 とに点 P から接線を引く. P から C 1 の接点までの距離と C 2 の接点までの距離との比が 1 :2 になるとする.このとき, P の軌跡を求めよ.
2004-10901-0102
【2】 整数 m , n が 1 ≦m<n を満たすとき,次の問いに答えよ.
(1) x>3 ならば,不等式
(m ⁢x-1 )⁢ (n⁢ x-1) >x2 +1
が成り立つことを示せ.
(2) tan⁡α = 1m , tan⁡β =1 n を満たし,かつ tan ⁡(α +β ) の値が整数となる角度 α , β があるとする.このような ( m,n ) の組をすべて求めよ.
2004-10901-0103
理,工,医(看護以外),薬学部
【3】 次の問いに答えよ.
(1) 任意の自然数 n に対して, x≧0 ならば,不等式
ex> x nn!
(2) (1)の不等式を用いて, limx →∞ x2⁢ e-x =0 であることを示せ.
(3) 曲線 y =x⁢e -x の点 ( a,a⁢ e-a ) における接線と法線が x 軸と交わる点を,それぞれ P と Q とおく.ただし a >1 とする.線分 PQ の長さを l ⁡(a ) とするとき,極限値 lima→ ∞l⁡ (a ) を求めよ.
2004-10901-0104
【4】 楕円 E :( x-1) 2+ y 2b2 =1 について,次の問いに答えよ.ただし, b は正の定数とする.
(1) E を表す極方程式を r =f⁡( θ) とするとき, f⁡( θ) を求めよ.
(2) 点 P が E 上を動くとする.原点 O と P との距離 OP が点 ( 2,0 ) 以外で最大となるための b の条件を求めよ.
(3) b は(2)で求めた条件を満たすとし, OP が最大となる点における θ の値を θ 0 とおく.ただし 0 <θ0 ≦ π2 とする.このとき(1)で求めた f ⁡(θ ) について,定積分
∫ 0θ0 f⁡ (θ )⁢ dθ
の値を b の式で表せ.
2004-10901-0105
教育,医(看護)学部
【3】 複素数 α , β を α =1+2 ⁢i , β=4 +4⁢i とする.次の問いに答えよ.
(1) |α -β‾ | の値を求めよ.ただし β ‾ は β の共役複素数を表す.
(2) 次の値を最小にする実数 x を求めよ.
|x- α|+ |x -β |
2004-10901-0106
【4】 関数 f ⁡(x )=x 2 , g⁡( x)= |2⁢ x2- 4| について,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x)= g⁡( x) を満たす x の値を求めよ.
(2) y=f⁡ (x ) のグラフと y =g⁡ (x ) のグラフとで囲まれた部分の面積を求めよ.