2004　名古屋市立大　後期経済学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$曲線

$y=a{x}^2+1\text{，}y=\log x$

が接するとき，正の定数$a$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$a$の値のもとで，上の$2$曲線および$x$軸，$y$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【２】　実数$a$に対して行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -a& 1+a\end{array}\right)$

により定義し，また$E$を$2$次の単位行列とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$A^2-A=a(A-E)$を示せ．

(2)　$k$を自然数とするとき，

$A^{k+1}-A^k=a^k(A-E)$

を示せ．

(3)　$n$を自然数とするとき，$A^n$を求めよ．

【３】　$24$枚の同じ大きさの正方形のタイルがあり，$20$枚は両面白色であり，$4$枚は片面白色，その裏面は赤色である．この$24$枚のタイルを白面を上にしてでたらめに$4$行$6$列にすき間なく敷きつめる．$i$行$j$列のタイルとそれに隣接するタイル合わせて最大$9$枚のうち，裏面が赤いタイルの枚数を$n_{ij}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}j=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{）}$とする．

　ただし$2$つのタイルが隣接するとは辺または頂点を共有することである．

　このとき次の問いに答えよ．

(1)　$n_{22}=1$である確率を求めよ．

(2)　$n_{22}=n_{24}=1$である確率を求めよ．

(3)　$n_{22}=n_{24}=n_{43}=1$である確率を求めよ．

【４】　曲線$C:y={\displaystyle \frac{2}{3}}x\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\text{（}x\geqq 0\text{）}$上の点$\mathrm{P}(\alpha ,\beta )\text{（}\alpha >0\text{）}$において，この曲線の接線$l$をひく．${\mathrm{P}}_0(0,{\displaystyle \frac{2}{3}})$から$\mathrm{P}(\alpha ,\beta )$までの曲線$C$の長さを$L$とする．$l$上の点$\mathrm{Q}(X,Y)$を$2$つの条件

$\mathrm{QP}=L+\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0\text{，}X<\alpha$

をみたすように定める．ただし$\mathrm{O}$は原点を表す．

　このとき次の問いに答えよ．

(1)　$L$を$\alpha$で表せ．

(2)　$\mathrm{Q}$の座標を$\alpha$で表せ．

(3)　$\alpha$が$\alpha >0$の範囲を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．