2004　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】　底面の半径が$a$で高さが$b$の直円柱$A$を考える．この直円柱$A$を座標空間内の$2$つの平面$z=0$と$z=b$の間に，その中心軸が$z$軸と重なるようにおく．また$x$軸と点$(0,a,b)$を含む平面を$P$とする．平面$P$で，この直円柱$A$を切ってできる$2$つの立体のうちで，点$(0,{\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{b}{4}})$を含む方の立体を$B$とする．$t$を条件$0\leqq t\leqq a$をみたす実数とするとき，この立体$B$を平面$y=t$で切ったときの切り口の面積$S(t)$は$\boxed{\text{(ア)}}$である．したがって，立体$B$の体積$V={\displaystyle {\int }_0^a}S(t)dt$は$\boxed{\text{(イ)}}$となる．

　さらに，この立体$B$の側面（つまり，もともとは直円柱$A$の側面であった部分）の面積$S_1$は$\boxed{\text{(ウ)}}$である．立体$B$の底面（すなわち，平面$z=0$の部分）の面積を$S_2$とする．ここで，$S_1+S_2=3\pi \text{（}\pi$は円周率）の条件のもとで，$a$と$b$を動かして立体$B$の体積$V$を最大にするには，$a=\boxed{\text{(エ)}}\text{，}b=\boxed{\text{(オ)}}$と定めればよい．

【２】　座標空間において，$y$軸を回転軸として$xy$平面を$\alpha$（ラジアン）回転させて得られる平面を$H$とおく．ただし，$y<0$である点$(0,y,0)$から原点を見て反時計回りの向きを正の向きとし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．そして，平面$H$と$xy$平面が交わってできる直線を$l$とする（右図参照）．

　$xy$平面上に$y={\sin }^{2}x$が描く曲線を考える．この曲線上の点$(x,y,0)$における接線の単位方向ベクトルで$x$成分が正であるものを$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$の成分表示は$x$を用いると$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(\boxed{\text{(カ)}},\boxed{\text{(キ)}},0)$である．さらに，$z$軸と平行で点$\mathrm{P}$を通る直線が平面$H$と交わる点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とし，$z$軸と平行で点$\mathrm{Q}$を通る直線が平面$H$と交わる点を${\mathrm{Q}}^{\prime }$とする．こうして新たに得られるベクトル$\overrightarrow{{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }}$は平面$H$上にあるので，その成分表示は$x$と$\alpha$を用いると，$\overrightarrow{{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }}=(\boxed{\text{(カ)}},\boxed{\text{(キ)}},\boxed{\text{(ク)}})$となる．

　以上のように成分表示された$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }}$のなす角を$\theta$として$\sin \theta$を$x$と$\alpha$を用いて表すと，$\sin \theta =\boxed{\text{(ケ)}}$である．よって，特に直線$l$が$(1,0,\sqrt{6})$を通るときの$\theta$のとり得る値の最小値は$\boxed{\text{(コ)}}$である．

【３】　実数の閉区間$[0,1]=\{x|0\leqq x\leqq 1\}$を定義域および値域とする関数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}& (0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}\text{のとき})\\ -2x+{\displaystyle \frac{3}{2}}& ({\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\text{のとき})\\ 2x-{\displaystyle \frac{3}{2}}& ({\displaystyle \frac{3}{4}}\leqq x\leqq 1\text{のとき})\end{array}$

を考える．この関数の$2$回の合成を$f_2(x)=f(f(x))\text{，}$また$3$回の合成を$f_3(x)=f(f_2(x))=f(f(f(x)))$とする．

(1)　$x$が閉区間$[0,1]$を動くとき，$y=f_2(x)$および$y=f_3(x)$のグラフの概形をそれぞれ$\boxed{\text{(サ)}}\text{，}\boxed{\text{(シ)}}$に描きなさい．

　さらに$4$以上の自然数$n$に対して，関数$f(x)$の$n$回の合成を$f_n(x)=f(f_{n-1}(x))$とする．また$f_1(x)=f(x)$とおく．いま閉区間$[0,1]$内の点$c$をひとつ決め，順に値$f_1(c)\text{，}{f}_2(c)\text{，}{f}_3(c)\text{，}\cdots$をみていく．このとき$f_1(c)=c$であれば$c$を周期$1$の点と呼ぶ．$c$が周期$1$の点ではなく，かつ$m\geqq 2$として$m$回の合成でその値がはじめて$c$になるとき，つまり条件

$f_j(c)\ne c\text{（}j=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}m-1\text{）かつ}{f}_m(c)=c$

がみたされるとき，$c$を周期$m$の点と呼ぶ．

(2)　閉区間$[0,1]$内の周期$1$の点の個数は$\boxed{\text{(ス)}}$個である．また周期$2$の点の個数は$\boxed{\text{(セ)}}$個である．

(3)　$m$を$3$以上の奇数としたとき，周期$m$の点の個数を求めて$\boxed{\text{(ソ)}}$に記入し，さらにその答えを得た理由を$\boxed{\text{(タ)}}$に書きなさい．

【４】　以下一般に，関数$y=f(x)$の第$k$次導関数を$f^{(k)}(x)$と表す．$f^{(1)}(x)$は$f^{\prime }(x)$を表している．また$f^{(0)}(x)=f(x)$とおく．

(1)　$n$を$2$以上の整数とし，$g(x)$を$x$の$n$次式とする．$m$を$n$より小さい正の整数とするとき，

$g^{(k)}(0)=0\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}m-1\text{）}$

ならば，$g(x)$は$(n-m)$次式$h(x)$を用いて，

$g(x)=h(x)x^m$

と表されることを証明し，それを$\boxed{\text{(チ)}}$に書きなさい．

(2)　$p$を$2$以上の整数とする．$(2p-1)$次式$f(x)$で，条件

• (ⅰ)　$f(0)=1$
• (ⅱ)　$f^{(k)}(0)=0\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}p-1\text{）}$
• (ⅲ)　$f^{(k)}(1)=0\text{（}k=0\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}p-1\text{）}$

をみたすものを求めたい．まず$g(x)=f(x+1)$とおくと，条件（iii)より$g^{(k)}(0)=0\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}p-1\text{）}$となる．そこで(1)の結果を用いれば，$f(x)=r(x){(x-1)}^p$（ここで$r(x)$は$(p-1)$次式）と表されることがわかる．$r(x)=a_{p-1}{x}^{p-1}+a_{p-2}{x}^{p-2}+\cdots +a_{1}x+a_0$とおく．次に，条件(ⅱ)より$(2p-2)$次式$f^{\prime }(x)$に(1)の結果を用いれば，

$f^{\prime }(x)=(2p-1)a_{p-1}{(x-1)}^{p-1}\times \boxed{\text{(ツ)}}$

がわかる．これらの式から，$r(x)$と$r^{\prime }(x)$の関係式

$\boxed{\text{(テ)}}=(2p-1)a_{p-1}\times \boxed{\text{(ツ)}}$

が得られる．この関係式より，漸化式$a_k=\boxed{\text{(ト)}}\times a_{k-1}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}p-1\text{）}$が導かれる．この漸化式と条件(ⅰ)を用いて$a_k=\boxed{\text{(ナ)}}\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}p-1\text{）}$が得られる．以上で，$r(x)$したがって$f(x)$が求められた．

【５】　正の整数$n$に対して，

$S(n)={\displaystyle 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}}$

とおく．

(1)　$1\leqq k<n$をみたす整数$k\text{，}n$に対して，次の不等式が成り立つことを証明しなさい．

${\displaystyle \frac{1}{k+1}-\frac{1}{n+1}}<S(n)-S(k)<{\displaystyle \frac{1}{k}-\frac{1}{n}}$

(2)　すべての正の整数$n$に対して，

$S(n)<1.7$

が成り立つことを証明しなさい．