2004　上智大学　地球法，外国語2月5日実施MathJax

【１】　一辺の長さが$1$の正十二角形$A$を考える．

(1)　$\sin 15°=\sin (45°-30°)={\displaystyle \frac{1}{4}}(\sqrt{\boxed{\text{ア}}}-\sqrt{\boxed{\text{イ}}})$である．

(2)　$A$に外接する円の直径の長さは$\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}+\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$である．ただし$\boxed{\text{ウ}}>\boxed{\text{エ}}$とする．

(3)　$A$の面積は$\boxed{\text{オ}}+\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$である．

(4)　$\mathrm{A}$のある頂点から$1$つおきに選んだ$6$つの頂点からなる正六角形と，残りの$6$つの頂点からなる正六角形の重なった部分よりなる図形を$B$とすると，$B$もまた正十二角形である．$B$の一辺の長さは

${\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}-\sqrt{\boxed{\text{コ}}})$

であり，$B$の面積は$\boxed{\text{サ}}$である．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-x+k$を考える．ただし$k$は定数である．

(1)　$f(x)$は$x=\alpha$で極大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}+k$をとり，$x=\beta$で極小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}+k$をとる．ただし$\alpha =\boxed{\text{タ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{チ}}$である．したがって$x$についての方程式$f(x)=0$がただ一つの実数の解をもつための条件は$k<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$または$k>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．

(2)　(1)で求めた$\alpha \text{，}\beta$に対し，座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}\mathrm{Q}(\beta ,f(\beta ))$を考える．線分$\mathrm{PQ}$の垂直二等分線の方程式を$y=g(x)$とすると，$g(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}x+\boxed{\text{ネ}}k$である．

　関数$|f(x)-g(x)|$は$x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$のとき極大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}$をとり，$x=\boxed{\text{ホ}}$または$x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{マ}}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$のとき極小値$\boxed{\text{ム}}$をとる．

【３】　$0$と$1$だけからなる$2$つの列$\mathtt{x}=x_1{x}_2\cdots x_n\text{，}\mathtt{y}=y_1{y}_2\cdots y_n$に対し，$d(\mathtt{x},\mathtt{y})$を$x_i\ne y_i$となる$i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$の個数とする．例えば$\mathtt{x}=11010\text{，}\mathtt{y}=01110$のとき$d(\mathtt{x},\mathtt{y})=2$である．

(1)　$\mathtt{x}=x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5{x}_6{x}_7$（各$x_i$は$0$または$1$）とする．$\mathtt{0}=0000000$に対し，$d(\mathtt{x},\mathtt{0})=m$となる$\mathtt{x}$の総数を$N(m)$とすると，$N(1)=\boxed{\text{メ}}\text{，}N(2)=\boxed{\text{モ}}\text{，}N(3)=\boxed{\text{ヤ}}$である．

(2)　$\mathtt{x}=x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5$（各$x_i$は$0$または$1$）とする．$\mathtt{0}=00000\text{，}\mathtt{y}=11100\text{，}\mathtt{z}=00111$に対し，条件$d(\mathtt{x},\mathtt{0})\geqq 3\text{，}d(\mathtt{x},\mathtt{y})\geqq 3\text{，}d(\mathtt{x},\mathtt{z})\geqq 3$をみたす$\mathtt{x}$はただ一つ定まり，

$x_1=\boxed{\text{あ}}\text{，}{x}_2=\boxed{\text{い}}\text{，}{x}_3=\boxed{\text{う}}\text{，}{x}_4=\boxed{\text{え}}\text{，}{x}_5=\boxed{\text{お}}$

である．

(3)　$\mathtt{x}=x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5{x}_6{x}_7$（各$x_i$は$0$または$1$）とする．$\mathtt{0}=0000000\text{，}\mathtt{u}=1110000\text{，}\mathtt{v}=0000111$に対し，条件

(＊)$d(\mathtt{x},\mathtt{0})=4\text{，}d(\mathtt{x},\mathtt{u})\geqq 3\text{，}d(\mathtt{x},\mathtt{v})\geqq 3$

をみたす$\mathtt{x}$を考える．このうち$x_4=0$となる$\mathtt{x}$は$\boxed{\text{ユ}}$個あり，$x_4=1$となる$\mathtt{x}$は$\boxed{\text{ヨ}}$個ある．したがって，条件(＊)をみたす$\mathtt{x}$は全部で$\boxed{\text{ラ}}$個ある．