2004　上智大学　文，法学部2月7日実施MathJax

【１】　$2$つの円$S_1:{(x+1)}^2+y^2=12\text{，}{S}_2:{(x-3)}^2+y^2=4$を考える．$S_1$の中心を$\mathrm{P}\text{，}{S}_2$の中心を$\mathrm{Q}$とおく．

(1)　$2$円$S_1\text{，}{S}_2$の交点は，

$\mathrm{A}(\boxed{\text{ア}},\sqrt{\boxed{\text{イ}}})\text{，}\mathrm{B}(\boxed{\text{ア}},-\sqrt{\boxed{\text{イ}}})$

である．

(2)　三角形$\mathrm{PAQ}$において，$\angle \mathrm{APQ}=\boxed{\text{ウ}}°\text{，}\angle \mathrm{AQP}=\boxed{\text{エ}}°$である．

(3)　点$\mathrm{B}$における円$S_1$の接線を$l$とすると，$l$の方程式は

$y=\sqrt{\boxed{\text{オ}}}(x+\boxed{\text{カ}})$

である．

(4)　直線$\mathrm{AP}$と$l$との交点を$\mathrm{C}$とすると，$\mathrm{C}$の座標は

$(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}})$

である．

(5)　三角形$\mathrm{PBC}$の面積は$\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$である．

【２】　$2$つの放物線$C_1:y=x^2\text{，}{C}_2:y=-x^2+2x+4$を考える．

(1)　放物線$C_1$を点$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}})$を中心として$180°$回転すると放物線$C_2$となる．

(2)　$C_1$と$C_2$の交点の座標は$(\boxed{\text{タ}},\boxed{\text{チ}})\text{，}(\boxed{\text{ツ}},\boxed{\text{テ}})$である．ただし$\boxed{\text{タ}}<\boxed{\text{ツ}}$とする．

(3)　$C_1$と$C_2$によって囲まれる図形$F$の面積は$\boxed{\text{ト}}$である．

(4)　直線$y=\boxed{\text{ナ}}(x-3)$によって，図形$F$は面積の等しい$2$つの部分に分けられる．

(5)　${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\leqq a\leqq \boxed{\text{ツ}}$とする．図形$F$に含まれ，$1$つの辺が直線$x=a$上にある三角形の面積の最大値は

$\boxed{\text{ニ}}{a}^3+\boxed{\text{ヌ}}{a}^2+\boxed{\text{ネ}}a+\boxed{\text{ノ}}$

である．

(6)　図形$F$に含まれ，$1$つの辺が$y$軸と平行な三角形の面積の最大値は$\boxed{\text{ハ}}$である．

【３】　図のような枠で囲まれた$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$の$7$か所に，同じ大きさの赤$1$枚，青$2$枚，白$4$枚の板ガラスを$1$枚ずつ入れて模様を作る．

(1)　全部で$\boxed{\text{ヒ}}$通りの入れ方がある．

(2)　以下では，板ガラスを入れた枠を，$180°$回転，上下の裏返し，左右の裏返しのいずれかで動かして互いに同じになる入れ方をまとめて$1$種類の模様と数えることにする．例えば下の$4$通りの入れ方は同じ模様で，まとめて$1$種類と数える．

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このとき，何種類の模様があるか考える．赤いガラスを入れる場所は$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$のどれかであるとして数えてよい．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$に赤いガラスを入れる場合は，回転や裏返しで互いに同じになる入れ方がないので，この場合は$\boxed{\text{フ}}$種類の模様がある．

(ⅱ)　$\mathrm{C}$に赤いガラスを入れる場合は，自分自身が上下対称な模様が$\boxed{\text{ヘ}}$種類あり，その他の模様は対称性を持たない．したがって，この場合は$\boxed{\text{ホ}}$種類の模様がある．

(ⅲ)　$\mathrm{D}$に赤いガラスを入れる場合は，上下対称な模様や左右対称な模様や点対称な模様がある．したがって，この場合は$\boxed{\text{マ}}$種類の模様がある．

　以上により，全部で$\boxed{\text{ミ}}$種類の模様があることがわかる．