2004　上智大学　経済(経営)学部2月9日実施MathJax

【１】　三角形$\mathrm{OAB}$において

${|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}^2=\mathrm{8}\text{，}$${\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2=5\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2$

とする．

(1)　線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|=\boxed{\text{オ}}$

である．

(2)　点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定め，直線$\mathrm{OD}$と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{E}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{OE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

である．

(3)　直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{D}$と対称な点を${\mathrm{D}}^{\prime }$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{D}}^{\prime }}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

である．

(4)　$\cos (\angle \mathrm{AOD})={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．

(5)　三角形$\mathrm{OE}{\mathrm{D}}^{\prime }$の面積は$\boxed{\text{ソ}}$である．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正四面体の高さは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}$で，体積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．この正四面体に内接する球の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$であり，外接する球の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

【３】　袋の中に赤玉が$1$個，白玉が$1$個入っている．以下，次の試行を繰り返し行う．袋から玉を$1$個取り出し，それが赤玉ならば，その赤玉ともう$1$つ白玉を袋に入れる．白玉ならば赤玉に取り替えて袋に入れる．

(1)　$n$回の試行の後，袋の中の玉の個数が$k$個になる確率を$a_{n,k}$とすれば，$a_{2,3}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\text{，}{a}_{3,4}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\text{，}{a}_{3,5}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．

(2)　$n$回の試行の後，袋の中の玉の個数が$k$個になった．$k$のとりうる範囲は，$n$が偶数のとき

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}n+\boxed{\text{ミ}}\leqq k\leqq \boxed{\text{ム}}n+\boxed{\text{メ}}$

であり，$n$が奇数のとき

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}\leqq k\leqq \boxed{\text{ム}}n+\boxed{\text{メ}}$

である．

　また，袋の中の白玉は$\boxed{\text{ラ}}n+\boxed{\text{リ}}k+\boxed{\text{ル}}$個あり，赤玉は$\boxed{\text{レ}}n+\boxed{\text{ロ}}k+\boxed{\text{ワ}}$個ある．