2004　上智大学　法(法律)学部2月10日実施MathJax

【１】　$a\ne 0$とする．直線

$l_a:y={\displaystyle \frac{4a^2-1}{4a}}(x-a)+a^2$

を考える．

(1)　$a\ne 0$であるすべての$a$について，$l_a$は定点$(\boxed{\text{ア}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}})$を通る．

(2)　放物線$y=x^2$と$l_a$との$2$つの交点の$x$座標は$\boxed{\text{エ}}a$および${\displaystyle \frac{-1}{\boxed{\text{オ}}a}}$である．この$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とすると

$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}{(\boxed{\text{ク}}a+{\displaystyle \frac{1}{a}})}^2$

である．

　$a>0$ とするとき，$\mathrm{AB}$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$で最小値$\boxed{\text{サ}}$をとる．

(3)　線分$\mathrm{AB}$の中点は放物線$y=\boxed{\text{シ}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$上にある．

【２】(1)　$a$を実数とし，$0°\leqq \theta \leqq 90°$の範囲で関数

$f(\theta )=|\cos 2\theta +1-2a|$

を考える．

(ⅰ)　$a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$ならば，$f(\theta )$は$\theta =\boxed{\text{チ}}°$のとき最大値$\boxed{\text{ツ}}a+\boxed{\text{テ}}$をとる．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\leqq a$ならば，$f(\theta )$は$\theta =\boxed{\text{ト}}°$のとき最大値$\boxed{\text{ナ}}a+\boxed{\text{ニ}}$をとる．

(2)　$b\geqq 1$とし，$0°\leqq \theta \leqq 90°$の範囲で関数

$g(\theta )=|\cos 3\theta +(3-4b)\cos \theta |$

を考える．

(ⅰ)　$1\leqq b\leqq \boxed{\text{ヌ}}$ならば，$g(\theta )$は$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}{b}^{\frac{1}{2}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\sqrt{\boxed{\text{フ}}}{b}^{\frac{3}{2}}$をとる．

(ⅱ)　$\boxed{\text{ヌ}}\leqq b$ならば，$g(\theta )$は$\theta =\boxed{\text{ヘ}}°$のとき最大値$\boxed{\text{ホ}}b+\boxed{\text{マ}}$をとる．

【３】　図のように，頂点を長さ$1$の辺で結んだ道路を考える．$\mathrm{P}$から出発し，同じ点を$2$度通らないようにして$\mathrm{Q}$まで進む道順を経路と呼ぶことにする．

(1)　最短の経路の長さは$\boxed{\text{ミ}}$で，そのような経路は$\boxed{\text{ム}}$通りある．

(2)　最短経路の次に短い長さをもつ経路の長さは$\boxed{\text{メ}}$である．そのような経路の中で図の辺$\mathrm{BA}$を点$\mathrm{B}$から点$\mathrm{A}$に向かって通過するものは$\boxed{\text{モ}}$通りある．

(3)　$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$に向かう経路の中ですべての頂点を通る経路の長さは$\boxed{\text{ヤ}}$である．これらの経路は辺$\mathrm{CD}$を必ず通る．このように，これらの経路が必ず通る辺は辺$\mathrm{CD}$を含めて$\boxed{\text{ユ}}$個ある．すべての頂点を通る$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$への経路は$\boxed{\text{ヨ}}$通りある．