2004　早稲田大学　理工学部MathJax

【１】　以下の問に答えよ．

(1)　実数$a$に対して$f(x)=ax+2$とする．$f(f(f(x)))$が$f(x)$の逆関数になるような$a$を求めよ．

【１】　以下の問に答えよ．

(2)　長さ$3\sqrt{2}$の線分$\mathrm{PQ}$が座標平面上にあり，点$\mathrm{P}$は直線$y=x$上を，点$\mathrm{Q}$は直線$y=-x$上を動くとする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{R}$の$x$座標の最大値を求めよ．

【２】　$E$を$2$次の単位行列とし，また，$O$を$2$次の零行列とする．以下の問に答えよ．

(1)　$2$次正方行列$J$が$J^2=-E$を満たしているとき，$xE+yJ=O$となる実数$x\text{，}y$は$x=y=0$のみであることを示せ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 3\end{array}\right)$のとき

$A=aE+bJ\text{，}{J}^2=-E$

を同時に満たす実数$a\text{，}b$および$2$次正方行列$J$を求めよ．

【３】　$2$つのサイコロを同時に投げる試行$T$を行うとする．この試行$T$においてサイコロの出た目の差の絶対値が$1$以下である事象を$A$で表す．以下の問に答えよ．

(1)　$A$が起こる確率を求めよ．

(2)　試行$T$をくり返して$m$回目に初めて$A$が起こる確率を求めよ．

(3)　$n$を正の整数とする．試行$T$をくり返し，$2n$回以下の偶数回目で初めて$A$が起こる確率$p_n$を求めよ．また$p_n$が${\displaystyle \frac{2}{7}}$より大きくなる最小の$n$を求めよ．

【４】　初項が$a_1=\sqrt{2}$で，漸化式

$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義される数列$\{a_n\}$について以下の問に答えよ．

(1)　$\log (a_1-1)+\log (a_2-1)+\log (a_3-1)+\log (a_3+1)$の値を求めよ．

(2)　すべての正の整数$n$について，次の不等式が成り立つことを示せ．

$0<2-a_n<{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}$

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}\log (a_n-1)$を求めよ．

【５】　$a\text{，}b$は実数で$b>0$とし，$2$つの曲線$C_1:y=e^x\text{，}{C}_2:y=b{e}^{ax}\cos x$を考える．以下の問に答えよ．

(1)　$a=b=1$のとき，$0\leqq x\leqq 2\pi$において$C_1\text{，}{C}_2$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$として$a=1+\tan \theta$とおく．$0<x<\pi$において$C_1\text{，}{C}_2$が交点を持たないような正の実数$b$の範囲を$\theta$を用いて表せ．