2004　同志社大　文学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$ に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$ の中に記入せよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$について$\mathrm{AB}=4\sqrt{2}\text{，}\angle \mathrm{BAC}=105°\text{，}\angle \mathrm{ACB}=30°$とする．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に引いた垂線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{AD}$の長さは$\boxed{\text{ア}}$である．

　以下では，$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{V}\text{，}\mathrm{BD}$上の点$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{DC}$上の点$\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Z}$を順に線分でつないだ四角形$\mathrm{VXYZ}$が長方形になるとする．

　$\mathrm{VX}$の長さを$x$とするとき，長方形$\mathrm{VXYZ}$と$▵\mathrm{ABD}$の共通部分の面積は$\boxed{\text{イ}}$であり，長方形$\mathrm{VXYZ}$と$▵\mathrm{ADC}$の共通部分の面積は$\boxed{\text{ウ}}$である．長方形$\mathrm{VXYZ}$の面積は$x=\boxed{\text{エ}}$のとき最大値$\boxed{\text{オ}}$をとる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　放物線$y=a{x}^2+bx+c$が$3$点$(1,11)\text{，}(2,1)\text{，}(5,-5)$を通るとする．このとき，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}b=\boxed{\text{キ}}\text{，}c=\boxed{\text{ク}}$であり，頂点の座標は$(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}})$である．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$について$\mathrm{AC}$の長さを$2\sqrt{2}\text{，}\mathrm{BC}$の長さを$m$とし，$\angle \mathrm{ACB}=45°$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}$の長さ$L$を$m$で表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$と内接円の半径$r$を$m$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S\text{，}$外接円の面積を$T$とするとき，$T-S$の最小値とそのときの$m$を求めよ．

【３】　$1$つのサイコロを続けて$3$回投げて出た目を順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．これら$a\text{，}b\text{，}c$を用いて数列$x_n$を

• $x_1=a$
• $x_{n+1}={(-1>)}^b{x}_n+c\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して$x_n\geqq 0$となる確率を求めよ．

(2)　$x_4>10$となる確率を求めよ．

(注)　サイコロは$1$から$6$までの目が等確率で出るものとする．