2004　同志社大　政策学部2月9日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$ に適する整数を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$ の中に記入せよ．

　$1$組$52$枚のトランプカードについて，次の試行を行う．ただし，$\mathrm{A}$は$1\text{，}\mathrm{J}$は$11\text{，}\mathrm{Q}$は$12\text{，}\mathrm{K}$は$13$という数を表すとする．

　まず$2$枚のカードを同時に取り出す場合を考える．このとき，取り出すカードの組合せは全部で$\boxed{\text{ア}}$通りである．そのうちで，$2$枚のカードに書かれた数が，連続するものは$\boxed{\text{イ}}$通りであり，同一となるものは$\boxed{\text{ウ}}$通りである．また$2$枚のカードのマークが同一となるものは$\boxed{\text{エ}}$通りで，そのうちで，数が連続するものは$\boxed{\text{オ}}$通りである．一方，$2$枚のカードに書かれた数が同一でも連続でもなく，マークも異なるものは$\boxed{\text{カ}}$通りである．

　次に$3$枚のカードを同時に取り出す場合を考える．このとき$3$枚のカードに書かれた数が，連続するものは$\boxed{\text{キ}}$通りで，同一となるものは$\boxed{\text{ク}}$通りである．また，$3$枚のカードのマークが同一となるものは$\boxed{\text{ケ}}$通りであり，そのうちで数が連続するものは$\boxed{\text{コ}}$通りである．

（注１）このトランプカードには，ジョーカーは含まれない．

（注２）$2$つの数が連続するとは，小さいほうから順に並べたとき，$n\text{，}n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}12\text{）}$の形になる場合をいう．$3$数が連続するとは，小さいほうから順に並べたとき，$n\text{，}n+1\text{，}n+2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}11\text{）}$の形になる場合をいう．たとえば$3\text{，}4$や$7\text{，}8\text{，}9$は連続しているが，$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{A}$や$3\text{，}3\text{，}4$は連続していない．

【２】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=9\text{，}{a}_{n+1}=2a_n-n-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【３】　実数$a\text{，}b\text{，}c$が条件

• $a^2+a+2b-6c=-6$
• $2a^2-5a-10b+2c=9$

をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b\text{，}c$をそれぞれ$a$で表せ．

(2)　$b>0\text{，}c>0$となる$a$の範囲を求めよ．

(3)　$3$辺の長さを$a\text{，}b\text{，}c$とする三角形が存在するような$a$の範囲を求めよ．

(4)　$a$が(3)で求めた範囲にあるものとする．辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする$▵\mathrm{ABC}$の内角のうち最大のものはどれか，またその角度を求めよ．