2004　立命館大　理系学部Ａ方式2月9日実施

【１】　$a\text{，}b\text{，}k$は実数で$a\ne 0$とする．放物線

$y=a{x}^2+bx-12\cdots \text{①}$

はその頂点の座標が$(4,4)$であり，放物線$\text{①}$と直線

$y=-x+k\cdots \text{②}$

は異なる$2$点で交わっているものとする．

　このとき，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$であり，$k$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}$で，交点の$x$座標は$k$を用いて$\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$と表される．ただし，$\boxed{\text{エ}}<\boxed{\text{オ}}$とする．

　放物線$\text{①}$と直線$\text{②}$で囲まれた図形の面積を$S$とおくと，$S=\boxed{\text{カ}}$と表され，とくに，$\boxed{\text{エ}}=0$のときは$S=\boxed{\text{キ}}$となる．

【２】　空間に$3$点$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(3,-1,-3)\text{，}\mathrm{C}(1,3,1)$をとる．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ク}}$である．

(2)　空間の点$\mathrm{P}$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$が$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で，$\mathrm{AP}=\sqrt{5}$であり，かつ，$\mathrm{P}$の$z$座標が正であるようにとる．このとき，$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{ケ}}$である．

(3)　$0<t<1$となる$t$について，線分$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Q}$を

$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}=t:(1-t)$

となるようにとる．このとき，$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})$である．また，$2$点$\mathrm{A}$と$\mathrm{Q}$を通る直線上に$\mathrm{Q}$と異なる点$\mathrm{R}$を$\mathrm{RA}=\mathrm{AQ}$となるようにとると，$\mathrm{R}$の座標は$(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソ}})$である．

(4)　以下では，(2)で求めた点$\mathrm{P}$と(3)で求めた点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$について考える．

(ⅰ)　四面体$\mathrm{BCPR}$の体積は$\boxed{\text{タ}}$である．

(ⅱ)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$が垂直となるのは$t=\boxed{\text{チ}}$のときである．

【３】　$i$を虚数単位として，以下の設問に解答せよ．

(1)　係数が実数である$2$次方程式が虚数$a+bi$（ただし，$a\text{，}b$は実数で$b\ne 0$）を解にもつとき，もう一つの解は$\boxed{\text{ツ}}$である．

(2)　虚数$\alpha \text{，}\beta$を係数にもつ$2$次方程式

$z^2+\alpha z+\beta =0$

が異なる虚数解$w_1\text{，}{w}_2$をもつとする．そのとき，係数が実数であり，$w_1\text{，}{w}_2$を解にもつ$4$次方程式は

$z^4+(\boxed{\text{テ}})z^3+(\boxed{\text{ト}})z^2+(\boxed{\text{ナ}})z+(\boxed{\text{ニ}})=0$

となる．（ただし，$\boxed{\text{テ}}$〜$\boxed{\text{ニ}}$は，$\alpha \text{，}\beta$およびそれと共役な複素数$\bar{\alpha }\text{，}\bar{\beta }$を用いて表せ．）

(3)　方程式

$z^2+{\displaystyle \frac{1+(2-\sqrt{3})i}{2}}z+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+i}{2}}=0$

の解は$\boxed{\text{ヌ}}$と$\boxed{\text{ネ}}$である．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$について，$A^n$（$n$は自然数）を求めたい．

　実数からなる$2$つの数列$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_{n+1}$と$y_1\text{，}{y}_2\text{，}\cdots \text{，}{y}_{n+1}$を次のように定める．

$\left(\begin{array}{c}{x}_{k+1}\\ y_{k+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\end{array}\right)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

このとき，$x_1\text{，}{y}_1$をどのようにとっても

$x_{k+1}+p{y}_{k+1}=q(x_k+p{y}_k)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

を満たす，$A$のみから定まる実数$p$と$q$がとれる．この$p$の値は$\boxed{\text{ノ}}$と$\boxed{\text{ハ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ノ}}<\boxed{\text{ハ}}$とする．$x_1\text{，}{y}_1$と$n$を用いて，$p=\boxed{\text{ノ}}$のときは

$x_{n+1}+\boxed{\text{ノ}}{y}_{n+1}=\boxed{\text{ヒ}}$

と表され，$p=\boxed{\text{ハ}}$のときは

$x_{n+1}+\boxed{\text{ハ}}{y}_{n+1}=\boxed{\text{フ}}$

と表される．

　以上を利用して

$A^n=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ヘ}}& \boxed{\text{ホ}}\\ \boxed{\text{マ}}& \boxed{\text{ミ}}\end{array}\right)$

が得られる．