2004　関西学院大　文系学部Ｆ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$x>0$として，方程式$3^{x^2{\log }_{9}x}=x\sqrt{x}$を解きたい．そのためにまず，両辺の$3$を底とした対数をとると，$x^2{\log }_{9}x=\boxed{\text{（ア）}}$となる．

　これより，方程式の解は$x=\boxed{\text{（イ）}}\text{，}\boxed{\text{（ウ）}}$（ただし$\boxed{\text{（イ）}}<\boxed{\text{（ウ）}}$）となる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$から$7$までの数字が書かれた$7$枚のカードがある．その中から異なる$3$枚のカードをとり出して一列に並べるとき，可能なすべての場合の数は$\boxed{\text{（エ）}}$通りである．そのうち，奇数のカードだけからなるものは$\boxed{\text{（オ）}}$通り，偶数のカードをちょうど$1$枚含むものは$\boxed{\text{（カ）}}$通りである．これから，偶数のカードをたかだか$1$枚含むものは$\boxed{\text{（キ）}}$通りであり，少なくとも一枚含むものは$\boxed{\text{（ク）}}$通りである．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$a>0$とする．関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$と$g(x)=p{x}^2+qx+r$が，条件

$f(1)=1\text{，}f(2)=2\text{，}$$g(2)=4\text{，}$$g(3)=6\text{，}$$2f^{\prime }(2)=g^{\prime }(2)$

を満たすとき，$b\text{，}c\text{，}p\text{，}q\text{，}r$を$a$を用いて表すと，$b=\boxed{\text{（ア）}}\text{，}c=\boxed{\text{（イ）}}\text{，}p=\boxed{\text{（ウ）}}\text{，}q=\boxed{\text{（エ）}}\text{，}r=\boxed{\text{（オ）}}$である．

　よって，曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を$S_1\text{，}$曲線$y=g(x)$と直線$y=2x$で囲まれる図形の面積を$S_2$とするとき，それらを$a$を用いて表すと，$S_1=\boxed{\text{（カ）}}$で，$S_2=\boxed{\text{（キ）}}$である．これから，$S_1+S_2=1$となるのは$a=\boxed{\text{（ク）}}$のときである．

【３】　複素数$\alpha$に対して，$\alpha$に共役な複素数を$\bar{\alpha }$で表す．次の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上の点$z$に対し，虚軸に関して対称な点を$\bar{z}$を用いて表せ．

(2)　実軸上の点$a$を通り，虚軸に平行な直線に関して，$z$と対称な点を$w$とするとき，$w$を$\bar{z}$と$a$を用いて表せ．

(3)　$k$を自然数，$r$を実数とする（ただし，$r\ne -1$）．実軸上の点$r^k$を通り，虚軸に平行な直線を$l_k$とする．複素数平面上の点$z_0$に対して，直線$l_1$に関して$z_0$と対称な点を$z_1\text{，}$直線$l_2$に関して$z_1$と対称な点を$z_2\text{，}$以下一般に直線$l_{k+1}$に関して$z_k$と対称な点を$z_{k+1}$と定義する．このとき，$z_{2k}-z_{2k-2}$を$r$と$k$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた漸化式を解いて$z_{2k}$を$z_0$と$r$と$k$を用いて表せ．