2005　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数の定数とし，関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+3\text{，}g(x)=f(x)-f^{\prime }(x)$

と定める．

(1)　導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)$が極小値をもたないとき$f(x)$も極小値をもたないことを示せ．

(3)　$g(x)$が極小値をもたず，$g(0)+3\geqq 0$を満たすような定数$a\text{，}b$を考える．平面上のこのような点$(a,b)$全体からなる図形の面積を求めよ．

【２】　$e$を自然対数の底とする．関数$f(x)\text{，}g(x)$はすべての実数$x$に対して，

$f(x)g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(e^{4t}+{\displaystyle \frac{1}{2e^{2t}}})dt\text{，}{\displaystyle \frac{d}{dx}}\{f(x)+g(x)\}=2e^{2x}$

を満たし，$g(0)=1$である．

(1)　$f(x)g(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)+g(x)$を求めよ．

(3)　すべての実数$x$に対して$f(x)<g(x)$を満たすとき，$f(x)\text{，}g(x)$および極限値$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$を求めよ．

【３】　$a$を整数とし，${\displaystyle \frac{2}{a-\sqrt{5}}}$の整数部分は$2$であるとする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　このような$a$に対して，

• ${\displaystyle \frac{2}{a-\sqrt{5}}}$の小数部分を$x\text{，}$
• ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{\sqrt{a-\sqrt{5}}}}$の小数部分を$y$

とおくとき，$8x^2-6xy+y^2$の値を求めよ．

【４】　数列$\{x_n\}$を

$x_1=2\text{，}{x}_{n+1}={(n+1)}^2({\displaystyle \frac{2x_n}{n^2}}-1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．

(1)　$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ．

(2)　すべての正の整数$n$に対して，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(x_k-k^2)=(n^2-2n+3)2^n-3$

が成り立つことを，数学的帰納法で証明せよ．

【５】　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は同一直線上にないものとし，

• 線分$\mathrm{OA}$を$1:3$の比に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$
• 線分$\mathrm{OB}$を$1:m$の比に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$
• 線分$\mathrm{BC}$を$2:3$の比に内分する点を$\mathrm{E}$

とする．ただし，$m$は正の数とする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$および$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$m\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=4\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$かつ$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$であるとき，$m$の値を求めよ．

【６】　虚数単位を$i$とし，正の定数$a$と$0$でない実数$t$に対して，

${\displaystyle \frac{1}{w_1}=\frac{1}{a}+i\frac{1}{t}}\text{，}{w}_2={\displaystyle \frac{1}{a+it}}$

とおく．$t$が$0$でないすべての実数を動くとき，複素数平面上の点$w_1$が描く図形を$F_1$とし，点$w_2$が描く図形を$F_2$とする．

(1)　図形$F_1$は点${\displaystyle \frac{a}{2}}$を中心とする半径${\displaystyle \frac{a}{2}}$の円周から$2$点$0\text{，}a$を除いたものになることを示せ．

(2)　図形$F_1$と図形$F_2$が一致するときの$a$の値を求めよ．

【７】　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を成分とする行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は$A^2=A$を満たし，零行列ではなく，逆行列をもたないとする．

(1)　$a+d=1$であることを示せ．

(2)　このような$A$に対する$ad+bc$の値が最大になるときの$a\text{，}d\text{，}bc$の値を求めよ．

【８】　平面上の曲線$C$は媒介変数$\theta$を用いて，

$x={\displaystyle \frac{\cos 2\theta +1}{2}}\text{，}y=\cos \theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$

と表されている．

(1)　曲線$C$を$x\text{，}y$を用いて表せ．

(2)　曲線$C$の$2$本の接線が直交するとき，その交点の$x$座標を求めよ．