2005　東北大学　前期MathJax

【１】　$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とし，平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$と単位ベクトル$\overrightarrow{e}$が

• (ⅰ)　$(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=\overrightarrow{e}$
• (ⅱ)　$(1-t)(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{e})=t(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{e})$

を満たすとする．さらに平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$があって，$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{b}$が垂直で長さの比が$t:1-t$となるとする．このとき，内積$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{e}$を$t$で表せ．

【２】　すべての内角が$180°$より小さい四角形$\mathrm{ABCD}$がある．辺の長さが$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=r\text{，}\mathrm{AD}=2r$とする．さらに，辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{E}$があり，$3$つの三角形$▵\mathrm{ABC}\text{，}▵\mathrm{ACE}\text{，}▵\mathrm{ADE}$の面積はすべて等しいとする．$\alpha =\angle \mathrm{BAC}\text{，}\beta =\angle \mathrm{CAD}$とおく．

(1)　$\alpha =\beta$を示せ．

(2)　$\cos \angle \mathrm{DAB}={\displaystyle \frac{3}{5}}$であるとするとき，$\sin \angle \mathrm{CAE}$の値を求めよ．

【３】　$1$から$6$の番号のつけられた$6$個の箱に，それぞれ$3$枚ずつの皿が重ねて置かれている．白いサイコロと黒いサイコロそれぞれ$1$個ずつを同時に振って，出た目に応じて次の規則で皿を移動させるものとする．$2$つのサイコロに同じ目が出たときは皿は移動させない．$2$つのサイコロに異なる目が出たときは，黒いサイコロの目の数と同じ番号の箱から皿$1$枚を白いサイコロの目の数と同じ番号の箱に移す．

(1)　サイコロを$3$回振るとき，皿が$4$枚の箱と$2$枚の箱がそれぞれ$3$個ずつとなる確率を求めよ．

(2)　サイコロを$3$回振るとき，皿が$3$枚の箱が$2$個，$5$枚の箱，$4$枚の箱，$2$枚の箱，$1$枚の箱がそれぞれ$1$個ずつとなる確率を求めよ．

【４】　$2$つの曲線$C\text{:}y=-x^2$と$D:y={(x-a)}^2+b$が$1$点で接している．曲線$D$と曲線$E:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-1)}^2+1$によって囲まれる部分の面積$S$が最小となるように実数$a\text{，}b$を定め，そのときの$S$を求めよ．

【３】　$1$から$n$までの数字を$1$つずつ書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から無作為にカードを$1$枚取り出して数字を記録し，箱に戻すという操作を繰り返す．ただし，$k$回目の操作で直前のカードと同じ数字か直前のカードよりも小さい数字のカードを取り出した場合に，$k$を得点として終了する．

(1)　$2\leqq k\leqq n+1$を満たす自然数$k$について，得点が$k$となる確率を求めよ．

(2)　得点の期待値を$n$で表した式を$f(n)$とするとき，$f(n)$および極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }f(n)$を求めよ．

【４】　$a$を負の実数とし，放物線$C_1:y=a{x}^2+bx+c$を考える．$C_1$が曲線

$C_2:y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-x+{\displaystyle \frac{3}{4}}& (x>0\text{のとき})\\ x^2+2x+{\displaystyle \frac{3}{4}}& (x\leqq 0\text{のとき})\end{array}$

と$2$点で接するとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$a$で表せ．

【５】　$a\text{，}b$を$a^2\ne b^2$を満たす$0$でない実数とし，$A_n$を次の関係式で定まる$2$次の正方行列とする．

$\begin{array}{l}{A}_1=\left(\begin{array}{cc}0& a^{\mathrm{-1}}\\ 0& 0\end{array}\right)\\ A_{n+1}\left(\begin{array}{cc}0& a\\ a& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& b\\ b& 0\end{array}\right)A_n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \mathrm{-1}\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

(1)　行列$C=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$で

$C\left(\begin{array}{cc}0& a\\ a& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& b\\ b& 0\end{array}\right)C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \mathrm{-1}\end{array}\right)$

を満たすものを求めよ．

(2)　$A_n$を$a\text{，}b\text{，}n$で表せ．

(3)　$n\to \infty$のとき$A_n$のすべての成分が収束するための条件を求めよ．

【６】　$a$を$0<a<1$を満たす定数とし，

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\cos 2x-2}{a\cos x+1}}$

とする．

(1)　$f(x)$が$0\leqq x\leqq \pi$で減少関数となる$a$の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$の$0\leqq x\leqq \pi$における最大値は$f(0)$であることを示せ．

文系・理系の学部・学科別

文系　文学部・教育学部・法学部・経済学部・医学部保健学科看護学専攻

理系　理学部・工学部・歯学部・薬学部・農学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）