2005　東北大学　後期MathJax

【１】　$a$を$0$でない実数とする．放物線$C:y=x^2$上の点で，点$\mathrm{A}(0,a)$からの距離が最小の点を考える．

(1)　このような点が$2$つ存在するための$a$の範囲を求めよ．

(2)　$a$は(1)で求めた範囲にあるとし，$\mathrm{A}$からの距離が最小の$2$点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．このとき線分$\mathrm{AP}$，線分$\mathrm{AQ}$および放物線$C$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　$m\ne 0$とし，原点を通る傾き$m$の直線を$l$とする．$l$に原点で接するような放物線$P:y=a{(x-b)}^2+c$を考える．

(1)　$c$を$b$と$m$で表せ．

(2)　$l$と原点で垂直に交わる直線を$l^{\prime }$とする．放物線$P$と$l^{\prime }$との原点以外の交点の座標を$b$と$m$で表せ．

【３】　中の見えない袋に$12$個の玉が入っていて，そのうち$3$個が赤で残りが白とする．$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君が交互に$1$個ずつ玉を取り出して，先に赤の玉を取り出した方が勝ちとする．取り出した玉は袋には戻さないとする．$\mathrm{A}$君が先にとり始めるとき，$\mathrm{B}$君が勝つ確率を求めよ．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{M}$と辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{N}$とを結ぶ線分$\mathrm{MN}$上に，三角形$\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$がある．$\mathrm{MG}:\mathrm{GN}=3:2$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AM}:\mathrm{MB}$と$\mathrm{AN}:\mathrm{NC}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{D}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする．直線$\mathrm{MD}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき$\mathrm{AC}:\mathrm{CE}$を求めよ．

【１】　曲線$C_1:y=4x^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$上の定点$\mathrm{P}(a,4a^2+{\displaystyle \frac{1}{4}})$から，曲線$C_2:y=x^2$上の点$(x,x^2)$までの距離を$h(x)$とする．

(1)　$|a|\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$h(x)$が最小値をとる$x=x_0$と値$h(x_0)$を求めよ．

(2)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$とし，(1)で求めた$x_0$について点$(x_0,{x_0}^2)$を$\mathrm{Q}$とおく．曲線$C_1\text{，}{C}_2\text{，}y$軸，および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を正の実数とする．$x$に関する$4$次方程式

$x^4+a{x}^3+(2b+7)x^2+2abx+5b^2=0$

は$4$つの異なる複素数解$p\text{，}\bar{p}\text{，}p+2\bar{p}\text{，}2p+\bar{p}$をもつとする．このとき$a\text{，}b$の値を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の整数とする．中の見えない袋に$2n$個の玉が入っていて，そのうち$3$個が赤で残りが白とする．$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君が交互に$1$個ずつ玉を取り出して，先に赤の玉を取り出した方が勝ちとする．取り出した玉は袋には戻さないとする．$\mathrm{A}$君が先に取り始めるとき，$\mathrm{B}$君が勝つ確率を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を$0<b<a$を満たす実数として，楕円$C:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}=1$を考える．

(1)　$0<t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．座標が$(a\cos t,b\sin t)$の$C$上の点を$\mathrm{P}(t)$とおく．$\mathrm{P}(t)$における$C$の法線$l$の方程式と，$l$と$x$軸の交点$Q(t)$の座標を求めよ．

(2)　$xyz$空間内の立体$V$で底面が平面$z=0$において

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}\leqq 1\text{，}0\leqq x\text{，}0\leqq y$

で与えられ，$z$軸の正の方向への高さが線分$\mathrm{P}(t)\mathrm{Q}(t)$上の各点で$t$となるものを考える．ただし点$(a,0)$と点$({\displaystyle \frac{a^2-b^2}{a}},0)$を結ぶ線分上の点での高さは$0$とする．$V$の平面$z=s$による断面積を求めよ．

(3)　$V$の体積を求めよ．

【５】　数列$\{a_n\}$を次で定める．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_{n+1}={\displaystyle \frac{3n-1}{3n+5}}{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

　このとき，一般項$a_n$と級数の和$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$を求めよ．

【６】　$m\text{，}n$を互いに素な自然数，$s\text{，}t$を$|s-t|<2\pi$を満たす実数とする．$4$つの等式

• $\sin ms=\sin mt\text{，}\cos ms=\cos mt$
• $\sin ns=\sin nt\text{，}\cos ns=\cos nt$

が成り立つとすると$s=t$であることを示せ．

文系・理系の学部・学科別

文系　法学部・経済学部・医学部保健学科看護学専攻

理系　理学部・工学部・歯学部・薬学部・農学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）