2005　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

【１】　(1)　答案用紙に複素数平面をかいて，等式$|z|=|z-4-2i|$をみたす複素数$z$の全体が作る直線$l$を，それがどういう直線か，わかるように図示しなさい．

(2)　(1)の直線$l$にある複素数$z$について，$(2-i)z+(2+i)\bar{z}$を計算しなさい．

(3)　複素数平面上の点$p=a+bi\text{（}a\text{，}b\text{は実数）}$をとる．この点の直線$l$に関する対称点を$q$とするとき，$(2-i)p+(2+i)\bar{q}$を計算しなさい．

【２】　$3$つの実数$p\text{，}q\text{，}r$は，$p<q<r$をみたすとする．また，$2$次関数で表される曲線$C:y=x^2+2x+3$上の$2$点$\mathrm{P}(p,p^2+2p+3)\text{，}\mathrm{R}(r,r^2+2r+3)$における接線をそれぞれ，$l\text{，}m$とする．さらに，接線$l$と曲線$C$と直線$x=q$で囲まれる部分の面積を$S$とし，接線$m$と曲線$C$と直線$x=q$で囲まれる部分の面積を$T$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　面積$S$を$p\text{，}q$で表しなさい．

(2)　$2$つの面積の間に，$8S=T$の関係が成り立つとき，$r$を$p\text{，}q$で表しなさい．

(3)　曲線$C$上の点$\mathrm{Q}(q,q^2+2q+3)$をとる．直線$x=q$と接線$l\text{，}m$との交点をそれぞれ$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}$とする．(2)の条件のもとで，$\mathrm{QL}:\mathrm{QM}$を求めなさい．

【３】(1)　不等式${(n+1)}^3>n^3+{(n-1)}^3$をみたす整数$n$で最大のものを求めなさい．また，それが最大である理由も書きなさい．

(2)　(1)で求めた$n$について，$x>0$のとき，不等式

${(n+1)}^{x+3}>n^{x+3}+{(n-1)}^{x+3}$

が成り立つことを証明しなさい．

【４】　図のような正$5$角形の頂点に順に番号をつけておく．以後，頂点の位置をこの番号で呼ぶ．次のルールで碁石を動かす．

• ・碁石は正$5$角形の頂点の上を動く．
• ・最初は$\text{③}$に碁石を置く．
• ・サイコロを投げて，次のように碁石を動かす（あるいはとどめる）．
• 　これを$1$回の「試行」という

  (ア)　$\text{①}$と$\text{⑤}$以外の頂点に碁石があるとき，$3$の倍数の目がであたらその碁石を時計回りに$1$つ，それ以外の目が出たら反時計回りに$1$つ動かす．

  (イ)　$\text{①}$または$\text{⑤}$の頂点に碁石があるとき，どのような目が出ても碁石はその場にとどめる．

　このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　$2$回の試行で，碁石が$\text{①}\text{，}\text{②}\text{，}\text{③}\text{，}\text{④}\text{，}\text{⑤}$にある確率をそれぞれ求めなさい．

(2)　$4$回の試行で，碁石が$\text{①}\text{，}\text{②}\text{，}\text{③}\text{，}\text{④}\text{，}\text{⑤}$にある確率をそれぞれ求めなさい．

(3)　$2n$回の試行で，碁石が$\text{③}$にある確率を求めなさい．