2005　千葉大学　前期MathJax

【１】　$x$は正の実数とし，$x^2+4x-1=0$を満たす．

$A=1+(1+x)+{(1+x)}^2+{(1+x)}^3\text{，}B={(1+x)}^3$

とおくとき，${\displaystyle \frac{A}{B}}$の値を求めよ．

【２】　$a$は実数とし，$x$に関する$2$次方程式$x^2+ax+{(a-1)}^2=0$は相異なる$2$つの実数解をもつ．

(1)　$2$つの解の差の平方を$a$を用いて表せ．

(2)　$2$つの解の差が整数であるとき$a$を求めよ．

【３】　$1$から$5$までの数字が書かれたカードが，それぞれ$2$枚ずつ，合わせて$10$枚ある．この中からカードを$2$枚同時に取り出し，その数字を$X\text{，}Y$とする．ただし，$X\leqq Y$とする．

(1)　$X=Y$となる確率を求めよ．

(2)　$X=3$となる確率を求めよ．

(3)　$X$の期待値を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$において，$a_1=2\text{，}{a}_2=4$である．

$b_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とおくとき，$\{b_n\}$は正の公比をもつ等比数列とする．

(1)　${\displaystyle \frac{({a_{n+1})}^2-a_n{a}_{n+2}}{a_n{a}_{n+1}}}$ を，$b_n\text{，}{b}_{n+1}$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^6}{\displaystyle \frac{{(a_{n+1})}^2-a_n{a}_{n+2}}{a_n{a}_{n+1}}}=\mathrm{-1456}$が成り立つとき

(ⅰ)　一般項$b_n$を求めよ．

(ⅱ)　一般項$a_n$を求めよ．

【５】　$a$は実数とする．$2$つの曲線

$y=x^3+2a{x}^2-3a^{2}x-4\text{と}y=a{x}^2-2a^{2}x-3a$

は，ある共有点で両方の曲線に共通な接線をもつ．このとき$a$を求めよ．

【６】　$a$を$1$と異なる正の定数とするとき，次の不等式を満たす$(x,y)$の範囲を図示せよ．

$a^{2x}-a^{2y}-a^{2x+y}+a^{x+2y}-a^x+a^y<0$

【７】　(1)　次の不等式で表される領域を図示せよ．

${\log }_{10}(-y^2-2xy+y+x^4-2x^3-3x^2+4x+1)\geqq {\log }_{10}(\mathrm{-2}{x}^2+2x+1)$

(2)　$x\text{，}y$が(1)の不等式を満たすとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．

【８】　関数$f(x)=3\cos 2x+7\cos x$について，${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|f(x)|dx$を求めよ．

【９】　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ \mathrm{-1}& -a-1\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．

(1)　$A^3=E$となるための必要十分条件を，$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　(1)の条件が成立するとき，すべての自然数$k(k=1\text{，}2\text{，}\cdots )$に対して

$A^{2^k}+A^{2^{k-1}}+E=O$

であることを示せ．

【10】　以下おいて$\log x$は自然対数を表す．

(1)　$a>{\displaystyle \frac{1}{e}}$のとき，$x>0$に対し$x^a>\log x$であることを示せ．

(2)　$a>{\displaystyle \frac{1}{e}}$のとき，$\underset{x\to \mathrm{+0}}{\lim }{x}^a\log x=0$が成り立つことを示せ．

(3)　$0<t<{\displaystyle \frac{1}{e}}$として，曲線$y=x\log x(t\leqq x\leqq 1)$および$x$軸と直線$x=t$で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに回転して得られる図形の体積を$V\left(t\right)$とする．このとき，$\underset{t\to \mathrm{+0}}{\lim }V\left(t\right)$を求めよ．

【11】　$n$は自然数とし，$2^n$は$100$桁の数で，$2^{n-1}$は$99$桁の数である．

(1)　$n$を求めよ．

(2)　$2^n$の一の位の数字を求めよ．

(2)　$2^n$の十の位の数字を求めよ．

　ただし，${\log }_{10}2=0.3010$としてよい．

【12】　$a\text{，}k$は正の整数とする．右の流れ図のプログラムを実行する．

(1)　$a=5\text{，}6\text{，}7\text{，}8$のそれぞれの場合に，このプログラム実行開始から終了までの$\mathrm{A}$点における$x\text{，}y$の値の表を作成せよ．

(2)　$a=9$のとき，このプログラム実行開始から終了までの$\mathrm{A}$点における$x$の値を$2$鍼法で表示せよ．

(3)　$a=2^k+1$であるとき，プログラム終了時の$y$の値を$k$を用いて表せ．

【13】　$\alpha$は絶対値$1$の複素数とし，複素数$z$に対して，$w={\displaystyle \frac{\bar{\alpha }z-2}{2z-\alpha }}$とおく．ただし$\bar{\alpha }$は$\alpha$の共役複素数を表す．

(1)　複素数平面上で，$z$が原点と点$\alpha$を通る直線上（ただし，点${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$を除く）を動くとき，$w$を表す点は原点と点$\bar{\alpha }$を通る直線上にあることを示せ．

(2)　複素数平面上で，$z$が不等式$|z|>1$を満たすとき，複素数$w$を表す点はどのような図形上を動くか．

【14】　$12$枚のカードがある．このうち$4$枚のカードには数字$0$が書いてあり，残り$8$枚のカードには数字$1$が書いてある．この$12$枚のカードから同時に$3$枚のカードを取り出す．このとき，取り出したカードの数字を$X\text{，}Y\text{，}Z$とおく．ただし，$X\leqq Y\leqq Z$とする．

(1)　$X=1$となる確率$P(X=1)$を求めよ．

(2)　$X+Y+Z$の期待値$E(X+Y+Z)$と分散$V(X+Y+Z)$を求めよ．

(3)　$Y=0$であるとき，$Z=1$となる条件付確率を求めよ．

志望別問題選択一覧

数学I，A

　教育学部　自然教育・技術教育系，情報教育系　【１】，【２】，【３】，【４】

数学I，II，A，B

　文学部　行動科学科　【３】，【４】，【５】必須，【12】，【13】から１題選択

　法経学部　【３】，【４】，【５】必須，【12】，【13】から１題選択

　園芸学部　【４】，【５】，【６】必須，【12】〜【14】から１題選択

数学I，II，III，A，B，C

　理学部　生物学科，地球科学科　【４】，【６】，【８】，【９】必須，【12】〜【14】から１題選択

　工学部Aコース　都市環境システム学科，デザイン工学科

　　【４】，【６】，【８】，【９】必須，【12】〜【14】から１題選択

　理学部　物理学科，化学科　【７】，【８】，【９】，【10】必須，【12】〜【14】から１題選択

医学部　【７】，【８】，【９】，【10】必須，【12】〜【14】から１題選択

薬学部　【７】，【８】，【９】，【10】必須，【12】〜【14】から１題選択

　工学部Aコース　電子機械工学科，メディカルシステム工学科，

　共生応用化学科，情報画像学科

　　【７】，【８】，【９】，【10】必須，【12】〜【14】から１題選択

　理学部　数学・情報数理学科

　　【７】，【８】，【９】，【10】，【11】必須，【12】〜【14】から１題選択