2005　千葉大学　前期　数学III・数学CMathJax

【１】　$f(x)=-x^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$a$を$0<a<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$を満たす定数とする．点$\mathrm{P}(a,0)$を通る直線が曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{Q}$における法線となっている．このとき，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$g(a)$で表す．

(1)　$g(a)$を求めよ．

(2)　$x_1=a\text{，}{x}_{n+1}=g(x_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$によって，数列$\{x_n\}$を定める．

(ⅰ)　$X_n=\log x_n-\log {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$X_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{X}_n$が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{X}_n$を求めよ．

【２】　曲線$C:y=e^x+1$上の点$\mathrm{P}$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{T}$とする．

(1)　線分$\mathrm{PT}$の長さの最小値とそのときの$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{T}$の座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{T}$に対して，$\mathrm{T}$から$y$軸に平行に引いた直線と曲線$C$との交点を$\mathrm{Q}$とする．曲線$C$と線分$\mathrm{PT}\text{，}\mathrm{TQ}$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

【３】　行列 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が逆行列をもたないとする．

(1)　$A^2=(a+d)A$が成り立つことを示せ．

(2)　$a+d=7$のとき

$A^2-2A=\left(\begin{array}{cc}5& 15\\ 10& 30\end{array}\right)$

を満たす$A$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$A$に対して${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{A}^k$を求めよ．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　放物線$y=x^2$と$x$軸および直線$x=1$とで囲まれる部分の面積$S$を区分求積法で求めよ．

(2)　次の極限値を求めよ．

• (ⅰ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{n+i}}$
• (ⅱ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\displaystyle \frac{n}{(n+i)(2n+i)}}$