2005　東京学芸大学　後期MathJax

【１】　$a$を$0<a<1$をみたす実数とする．下の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上で，$|z|(a^2+1)=a({|z|}^2+1)$をみたす点$z$がえがく図形を図示せよ．

(2)　複素数$z$が(1)の式をみたすとき，複素数$w={\displaystyle \frac{z+i}{z+1}}$が表す点の軌跡を求めよ．

【２】　$4$辺の長さが$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CD}=4\text{，}\mathrm{DA}=2$である四角形$\mathrm{ABCD}$の面積が最大になるとき，$\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}$を求めよ．

【３】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して，

$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\sin }^{n+2}x+{\cos }^{n+2}x}{{\sin }^n+{\cos }^{n}x}}$

とするとき，${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)dx$を求めよ．

【４】　$a<b$のとき，$2$点$(a,0)\text{，}(b,0)$を結ぶ線分を直径とする円を$C$とする．$C$の半径が$1$以下のとき，$C$上のすべての点$(x,y)$に対して不等式$k{e}^x\leqq 1-{\displaystyle \frac{y^2}{2}}$が成り立つような実数$k$の最大値を求めよ．