2005　東京工業大学　前期MathJax

【１】　$e$を自然対数の底とし，数列$\left\{a_n\right\}$を次式で定義する．

$a_n={\displaystyle {\int }_1^e}{(\log x)}^{n}dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$n\geqq 3$のとき，次の漸化式を示せ．

$a_n=(n-1)(a_{n-2}-a_{n-1})$

(2)　$n\geqq 1$に対し$a_n>a_{n+1}>0$なることを示せ．

(3)　$n\geqq 2$のとき，以下の不等式が成立することを示せ．

$a_{2n}<{\displaystyle \frac{3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (2n-1)}{4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (2n)}}(e-2)$

【２】　$1$から$6$までの目が${\displaystyle \frac{1}{6}}$の確率で出るサイコロを振り，$1$回目に出る目を$\alpha \text{，}2$回目に出る目を$\beta$とする．$2$次式$(x-\alpha )(x-\beta )=x^2+sx+t$を$f(x)$とおき${f(x)}^2=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$とする．

(1)　$s$および$t$の期待値を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$および$d$の期待値を求めよ．

【３】　$D$を半径$1$の円盤，$C$を$xy$平面の原点を中心とする半径$1$の円周とする．$D$がつぎの条件(a)，(b)を共に満たしながら$xyz$空間内を動くとき，$D$が通過する部分の体積を求めよ．

• (a)　$D$の中心は$C$上にある．
• (b)　$D$が乗っている平面は常にベクトル$(0,1,0)$と直交する．

【４】　実数$x\text{，}y$が$x^2+y^2\leqq 1$を満たしながら変化するとする．

(1)　$s=x+y\text{，}t=xy$とするとき，点$(x,y)$の動く範囲を$st$平面上に図示せよ．

(2)　負でない定数$m\geqq 0$をとるとき，$xy+m(x+y)$の最大値，最小値を$m$を用いて表せ．