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2005-10267-0201
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2005 東京工業大学 後期数学
易□ 並□ 難□
【1】 数列 {a m} (ただし a m=m とする)に対し b n= ∑m =1n ⁡ am とおく.
(1) 0<r< 1 とするとき, limn →∞ ⁡n⁢ rn= 0 および limn→ ∞⁡ n2⁢ rn= 0 となることを証明せよ.
(2) Sm= a1⁢ r+a2 ⁢r2 +⋯+ am⁢ rm ,Tn =b1 ⁢r +b2 ⁢r2 +⋯+ bn⁢ rn とおくとき, lim m→∞ ⁡S m および lim n→∞ ⁡T n を求めよ.
2005-10267-0202
【2】 C を半径 1 の円とし,その周上に長さ θ の円弧 PQ をおく. C と P で接し C の内部にある円を A , C と Q で接し A にも接する円を B とする.
(1) A と B の面積の和の最小値 S θ を θ で表せ.
(2) θ が 0 から 2⁢ θ まで動くとき, Sθ の最大値を求めよ.