2005　信州大学　後期　理学部数IAIIBMathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　太郎さんは$1$から$10$までの自然数の中から異なる$5$つの数を無作為に選び，花子さんも同様に$5$つの数を選ぶとする．このとき，$2$人の選んだ数が$3$つ以上一致している確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$n$を$2$以上の自然数とするとき，和${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{(k^2-1)k}}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．また$a$と$b$を$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+a\overrightarrow{\mathrm{PB}}+b\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$をみたす数とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=x\overrightarrow{\mathrm{PA}}$をみたす数$x$を$a$と$b$で表せ．

【２】　放物線$C:y=a{x}^2$と点$\mathrm{A}(0,1)$を考える．ただし$a$は正の定数とする．この放物線$C$上の点$\mathrm{P}(t,a{t}^2)\text{（}t>0\text{）}$から$x$軸におろした垂線の足を$\mathrm{Q}$とする．また$y$軸と線分$\mathrm{AP}$および放物線$C$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$x$軸と線分$\mathrm{PQ}$および放物線$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$S_1$と$S_2$を$a$と$t$で表せ．

(2)　$t$が正の実数全体を動くとき，$S_1-S_2$の値の最大値が$1$であるという．このとき$a$の値を求めよ．

【３】　$p$と$q$を$p^2\ne q$となる正の数とする．定点$(p,q)$を通る放物線$y=a{x}^2+bx+c$が直線$y=0$および放物線$y=x^2$とそれぞれ$1$点のみを共有しているとする．このような$a\text{，}b\text{，}c$の値の組をすべて求めよ．

【４】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)$をとる．点$\mathrm{P}(x,y)$と線分$\mathrm{AB}$上の点との距離の最小値を$d$とし，最大値を$D$とする．$D\geqq 2d$をみたす点$\mathrm{P}$の存在する領域を図示し，その面積を求めよ．