2005　名古屋大学　後期MathJax

【１】　$n$人全員が一組となってじゃんけんを$1$回するとき，勝った人数を$X$とする．ただし，あいこのときは$X=0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　ちょうど$k$人が勝つ確率$P(X=k)$を求めよ．ただし，$k$は$1$以上とする．

(2)　あいこになる確率$P(X=0)$を求めよ．

(3)　$X$の期待値を求めよ．

【２】　$n$を$3$以上の自然数とする．正$n$角形のすべての頂点と重心を結んで$n$個の$3$角形を作り，各$3$角形に単色の色を付ける．ただし，用いることのできる色の数は任意とし，同じ色を何度でも用いて良いものとする．

　$\theta ={\displaystyle \frac{360}{n}}$度とし，重心を中心に，この正$n$角形を$\theta$の整数倍だけ時計回りに回転させる．回転前と回転後で配色が完全に一致するときの正の最小の回転角度を$m\theta$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　配色が完全に一致するときの回転角度は，$m\theta$の整数倍であることを示せ．

(2)　$2$色以上を用いる場合，$n$が素数$p$のときは，$m=p$であることを証明せよ．

【３】(a)　実数$t\text{，}s$が，$t>0\text{，}s>0$の範囲を動くとき，$x=t+s\text{，}y=ts+{\displaystyle \frac{1}{t}}$で定まる点$(x,y)$の動く範囲を$xy$平面に図示せよ．

【３】(b)　関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$は$x=\alpha$で極大，$x=\beta$で極小となると仮定する．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(\alpha )-f(\beta )={\displaystyle \frac{1}{2}}{(\beta -\alpha )}^3$となることを示せ．

(2)　$f(\alpha )+f(\beta )={\displaystyle \frac{2}{\beta -\alpha }}{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}f(x)dx$が成り立つことを示せ．

【３】(a)　実数$x$および自然数$n$に対して，

$a_n={\displaystyle \cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2^2}\cdot \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^n}}$

とする，以下の問いに答えよ．

(1)　$x$の値を決めると，$2^n{a}_n\sin {\displaystyle \frac{x}{2^n}}$の値は，$n$と無関係に一定であることを証明せよ．

(2)　$\log |a_n|$を$x$で微分することにより

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2^n}}\tan {\displaystyle \frac{\pi }{2^n}}={\displaystyle \frac{1}{\pi }}$

を証明せよ．

【１】　$xy$平面上で次の条件(イ)，(ロ)，(ハ)を満たす点$(x,y)$は何個あるか．考察の過程をていねいに説明して解答せよ．

• (イ)　$x\text{，}y$は共に整数．
• (ロ)　$1\leqq x\leqq 100\text{，}1\leqq y\leqq 100$．
• (ハ)　$x+y$は$2$の倍数，$2x+3y$は$5$の倍数．

【２】　$a\text{，}b$は正の定数とし，関数列$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}\cdots$を下の式で定める．

• $f_1(x)=a+b$
• $f_2(x)=a\cos x+b\sin x$
• $f_{n+2}(x)-(\cos x+\sin x)f_{n+1}(x)+(\cos x\sin x)f_n(x)=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲での$f_n(x)$の最小値を$m_n\text{（}n\geqq 2\text{）}$とする．

(イ)　$m_2\text{，}{m}_3$を求めよ．

(ロ)　$n\geqq 4$とする．$f_n(x_n)=m_n$となる点$x_n(0\leqq x_n\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$に対して，$\tan x_n$を求めよ．

(ハ)　$n\geqq 4$に対して$m_n$を$a\text{，}b$を使って表せ．

【１】　$2$次正方行列$X=\left(\begin{array}{cc}a& 2-a\\ 1-a& 3-b\end{array}\right)$と$Y=\left(\begin{array}{cc}c& 1-c\\ 2-c& c\end{array}\right)$について，つぎの等式が成り立つとする．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は実数とする．

$(X+Y)(X-Y)=X^2-Y^2$

　つぎの各問に答えよ．

(1)　$b$と$c$を，それぞれ$a$で表せ．

(2)　$Z=X^2+2XY+Y^2$とする．$Z$の各成分を$a\text{，}b\text{，}c$を用いずに表せ．

(3)　$X^4=kE$（$k$は実数）を満たす$X$および$k$を求めよ．ここで，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$である．

【２】　四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{CD}=t\text{，}\mathrm{DA}=3-t\text{（}0<t<3\text{）}$とする．四角形$\mathrm{ABCD}$は外接円を持つとする．つぎの各問に答えよ．

(1)　$\cos C$を$t$で表せ．

(2)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$t$で表せ．

(3)　$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【３】　$f(x)=|e^{-x}\sin x|$とする．曲線$y=f(x)$の$(n-1)\pi \leqq x\leqq n\pi$（$n$は自然数）の部分と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_n$とする．つぎの各問に答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で，$f(x)=0$を満たす$x$の値および$f(x)$の極大値を与える$x$の値を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{e}^{-x}\sin xdx$を求めよ．

(3)　面積$S_n$を求めよ．

(4)　無限級数の和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を求めよ．

【４】　自然数を入力すると，$1$と$2$からなる列を表示するプログラムを考える．このプログラムに入力する自然数と表示される列の関係はつぎの通りである．

　一般に，$n\text{（}n\geqq 3\text{）}$を入力すると，$n-1$を入力したときに表示される列の後に$n-2$を入力したときに表示される列をつないだ列が表示される．つぎの各問に答えよ．

(1)　$6$を入力したときに表示される列を示せ．

(2)　空欄を埋めて，プログラムを完成させよ．ただし，表示される列の長さが$10000$を超える場合は扱えなくてもよいとする．また，270 行の PRINT X(I); は変数 X(I) の値を表示し，改行しない命令である．

(3)　$n\text{（}n\geqq 1\text{）}$を入力したときに表示される列に現れる$1$の個数を$a_n$とするとき，$a_n\text{，}{a}_{n+1}\text{，}{a}_{n+2}$の間に成立する関係式を求めよ．