2005　京都大学　後期MathJax

【１】　放物線$y=a{x}^2+bx+c$が$3$直線

$y=x\text{，}y=2x-1\text{，}y=3x-3$

のすべてと接するとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【２】　${\displaystyle \frac{2z+2i}{z+2i}}=\bar{z}$を満たす複素数$z$をすべて求めよ．（ただし，$i$は虚数単位，$\bar{z}$は$z$に共役な複素数である．）

【３】　角$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が$\alpha +\beta +\gamma =180°\text{，}\alpha \geqq 0°\text{，}\beta \geqq 0°\text{，}\gamma \geqq 0°$を満たすとき，

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma \geqq 1$

を示せ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$を$t:1-t\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．また，直線$\mathrm{AP}$と面$\mathrm{OBC}$との交点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$直線$\mathrm{BP}$と面$\mathrm{OCA}$との交点を${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$直線$\mathrm{CP}$と面$\mathrm{OAB}$との交点を${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．このとき，三角形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$は三角形$\mathrm{ABC}$と相似であることを示し，相似比を$t$で表せ．

【５】　$xy$平面上に$x=k$（$k$は整数）または$y=l$（$l$は整数）で定義される碁盤の目のような街路がある．$4$点$(2,2)\text{，}(2,4)\text{，}(4,2)\text{，}(4,4)$に障害物があって通れないとき，$(0,0)$と$(5,5)$を結ぶ最短経路は何通りあるか．

【１】　曲線$y=x^3$の$x>0$の部分を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$に対し，$\mathrm{P}$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$における$C$の法線と$y$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OQ}}}$の最小値を求めよ．ただし，$O$は原点である．

【３】　$2$次元列ベクトル$A_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が

• $A_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\text{，}{A}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\text{，}$
• $A_{n+2}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)A_{n+1}+\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)A_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとき，$A_n$を求めよ．

【５】　$n<{\displaystyle {\int }_{10}^{100}}{\log }_{10}xdx$を満たす最大の自然数$n$を求めよ．

　ただし，$0.434<{\log }_{10}e<0.435$（$e$は自然対数の底）である．

【６】　$n$枚の$100$円玉と$n+1$枚の$500$円玉を同時に投げたとき，表の出た$100$円玉の枚数より表の出た$500$円玉の枚数の方が多い確率を求めよ．