2005　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】

(ⅰ)　正の実数$r$と角$\theta$は，$r(\cos \theta +i\sin \theta )=5\sqrt{2+\sqrt{3}}+5\sqrt{2-\sqrt{3}}i$を満たしているものとする．ただし，$i^2=-1$とする．このとき，$3r\{\cos (-2\theta )+isin(-2\theta )\}=a-bi$を満たす実数$a\text{，}b$は，それぞれ$a=\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}\sqrt{\boxed{\text{(3)}}}\text{，}b=\boxed{\text{(4)}\text{(5)}}$である．

【１】

(ⅱ)　国際的な競技会が開催された．世界中から$1000$人の競技者が集まり，多くの種目で競い合った．各種目の成績上位者には，金メダル，銀メダル，または銅メダルが授与された．種目によっては，複数の人が同じ種類のメダルを授与されることもあった．また，複数の種目に参加する競技者もいた．メダルを獲得した競技者を調べてみたところ，$3$種類のメダル全てを獲得した人は$1$人もいなかったが，$2$種類以上のメダルを獲得した人は$24$人いて，このうち，金メダルを含む人は$12$人，銀メダルを含む人は$17$人いた．残念ながら何のメダルもとれなかった競技者は$814$人だった．さらに，金メダルだけをとった人の数は，銀メダルをとった人の数より$27$人少なく，また，銅メダルをとった人の数のちょうど$40\%$だった．このとき，銀メダルと銅メダルの両方をとった人の数は$\boxed{\text{(6)}\text{(7)}}$人で，金メダルをとれなかった人の数は，$\boxed{\text{(8)}\text{(9)}\text{(10)}}$人になる．

【１】

(ⅲ)　次のように定められた数列について考える．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_{n+1}=2^{n-1}{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

この数列の一般項$a_n$は，$2$の${\displaystyle \frac{1}{2}}n(n-\boxed{\text{(11)}})$乗で，第$1$項から第$n$項までの積は，$2$の${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{(12)}}}}n(n+\boxed{\text{(13)}})(n-\boxed{\text{(14)}})$乗となる．

【１】

(ⅳ)　放物線$y=x^2+p$上の点$\mathrm{A}(a,a^2+p)$における接線と，放物線$y=x^2+q$とで囲まれた図形の面積が$36$であるとき，$p-q=\boxed{\text{(15)}}$である．ただし，$p>q$とする．

【２】　大気中のメタンの量は，地球温暖化の観点からも注目されている．メタン分子は，正四面体の形をもち，水素原子$4$個と炭素原子$1$個からなる．以下の数学的議論においては，各原子は点として考える．各原子の位置について，次のことが成り立っている．

• (a)　$4$個の水素原子$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は，正四面体の各頂点に$1$個ずつ位置する．
• (b)　炭素原子は，正四面体の頂点$\mathrm{O}$と，正三角形$\mathrm{ABC}$の重心を結ぶ線分を，$3:1$に内分する点に位置する．その位置を$\mathrm{G}$で表す．
• (c)　炭素原子と各水素原子間の距離は全て等しい．その距離を$r$で表す．また，炭素原子と水素原子を結ぶ$4$本の線分のうち，任意の相違なる$2$本のなす角の大きさは全て等しい．その角の大きさを$\theta$で表す．

　このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GA}}=\overrightarrow{r_1}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{GB}}=\overrightarrow{r_2}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{r_3}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{GO}}=\overrightarrow{r_4}$と表したとき，$\overrightarrow{r_1}+\overrightarrow{r_2}+\overrightarrow{r_3}+\overrightarrow{r_4}$を求めよ．解答用紙$\mathrm{B}$の所定の欄に，計算の過程を含めて解答せよ．なお記号の簡略化のために，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$と表して記述せよ．

(ⅱ)　$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(16)}}}{\boxed{\text{(17)}}}}$である．

(ⅲ)　$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}$間の距離は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(18)}}\sqrt{\boxed{\text{(19)}}}}{\boxed{\text{(20)}}}}r$である．

【３】　関数$y={27}^x-9^{x+1}+5\times 3^{x+1}-2$について考える．なお設問中の$\boxed{\text{(28)}}\text{，}\boxed{\text{(31)}}\text{，}\boxed{\text{(32)}}\text{，}\boxed{\text{(33)}}$にはそれぞれ，「増加する」，「定数である」，「減少する」のいずれかが入る．「増加する」が適する場合は$1$を，「定数である」が適する場合は$2$を，「減少する」が適する場合は$3$をそれぞれマークせよ．

(ⅰ)　$t=3^x$とおくと，$y$は$t$の関数とみなされる．これより次のことが得られる．$y$は$t=\boxed{\text{(21)}}$で極大値$\boxed{\text{(22)}}$を，$t=\boxed{\text{(23)}}$で極小値$-\boxed{\text{(24)}\text{(25)}}$をとる．

(ⅱ)　(ⅰ)より，$y$は，区間$0<t<\boxed{\text{(26)}}$と区間$t>\boxed{\text{(27)}}$で$\boxed{\text{(28)}}$こと，そして，区間$\boxed{\text{(29)}}<t<\boxed{\text{(30)}}$で$\boxed{\text{(31)}}$ことがわかる．よって，$3^x<\boxed{\text{(26)}}$を満たす範囲で$x$が増加するとき，または$3^x>\boxed{\text{(27)}}$を満たす範囲で$x$が増加するとき，$y$は$\boxed{\text{(32)}}\text{．}$さらに$\boxed{\text{(29)}}<3^x<\boxed{\text{(30)}}$を満たす範囲で$x$が増加するとき，$y$は$\boxed{\text{(33)}}\text{．}$したがって$y$は$x=\boxed{\text{(34)}}$で極大値を，$x={\log }_{\boxed{\text{(35)}}}\boxed{\text{(36)}}$で極小値をとるということがわかる．

(ⅲ)　$x\leqq 3{\log }_{3}2$の範囲で，$|y|$は$x={\log }_{\boxed{\text{(37)}}}\boxed{\text{(38)}}$のとき最大値$\boxed{\text{(39)}\text{(40)}}$をとる．

【４】　サイコロを用いたくじを考える．$1$回の試行においては，$2$つのサイコロを同時に振る．各サイコロにおいて，偶数の目が出たときは$+1$点，奇数の目が出たときは$-1$点とし，$2$つのサイコロに対する点数を足し合わせた点数を$1$回の試行の得点とする．この試行を複数回繰り返すものとする．まず，試行回数を$2$回として，次の問い(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　試行$2$回の得点の和が$0$点以上で，$1$回目の得点が$0$点より大きい確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(41)}}}{\boxed{\text{(42)}}}}$である．

(ⅱ)　試行$2$回の得点の和が$0$点ではない確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(43)}}}{\boxed{\text{(44)}}}}$である．

　次に，くじを$2$種類考える．くじの販売価格はどちらの種類も一律に$1$枚$100$円とする．くじが当たりか否かは，くじ$1$枚ごとにサイコロを振って決められる．くじには，$2$つのサイコロを振る試行回数，くじが当たりとなる条件，および，当たったときに支払われる賞金が記されている．なお，くじが当たらなかった場合，賞金は支払われない．どちらの種類のくじも，くじの販売者は，くじの販売価格の$20\%$をくじへの参加料として受け取る．くじ$1$枚の販売価格からくじへの参加料をひいた金額が，ちょうど，くじ$1$枚に対する賞金の期待値となるように，賞金を定める．ただし，賞金が整数にならない場合は，小数点以下を切り捨てるものとする．このとき，次の問い(ⅲ)，(ⅳ)に答えよ．

(ⅲ)　試行回数が$2$回で，$2$回の得点の和が負であれば当たりとなるくじ$1$枚に対する賞金は，$\boxed{\text{(45)}\text{(46)}\text{(47)}}$円である．

(ⅳ)　試行回数が$10$回で，それぞれの試行で$1$度も$0$点をとらず，$10$回の得点の和が$0$点より大きい場合に当たりとなるくじを考える．このくじ$1$枚に対する賞金の概算は，四捨五入して万の位まで求めると，$\boxed{\text{(48)}\text{(49)}}$万円である．なお，必要ならば，

$2^5=32\text{，}{2}^{10}=1024\text{，}{2}^{15}=32768\text{，}{2}^{20}=1048576$

を利用せよ．