2005　上智大学　総合人間，法学部2月8日実施MathJax

【１】

(1)　$a\text{，}b$を実数とする．整式

$P=a{(x+1)}^2(2x+1)-4{(x-1)}^2(2x-1)+bx{(x-3)}^2$

が$(x+1)(x+2)$で割り切れるならば，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$であって，$P=(x+1)(x+2)(\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}})$と因数分解される．

【１】

(2)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3}}$は整数を係数にもつ$2$次方程式

$x^2+\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}=0$

の解である．この方程式のもう$1$つの解を$\beta$とすると$\beta =\boxed{\text{キ}}+\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$であって，${\displaystyle \frac{{\alpha }^3-{\beta }^3}{\alpha -\beta }}=\boxed{\text{コ}}$が成り立つ．

【１】

(3)　$-90°\leqq \theta \leqq 90°$の範囲で，${\log }_2(\sqrt{3}\cos \theta -\sin \theta +2)$は$\theta =\boxed{\text{サ}}°$のとき最大となり，$\theta =\boxed{\text{シ}}°$のとき最小値$\boxed{\text{ス}}$をとる．

【１】

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}=15°\text{，}\mathrm{AB}=4\sqrt{3}\text{，}\mathrm{AC}=6\sqrt{2}$であるとき

$\mathrm{BC}=\boxed{\text{セ}}-2\sqrt{3}\text{，}\angle \mathrm{C}=\boxed{\text{ソ}}°$

であり，面積は

$\boxed{\text{タ}}+\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$

である．

【２】　座標平面上で，関数$y=|x^2-4x|+2x$のグラフを$C\text{，}$直線$y=px$を$l$とする．ただし$p$は定数である．

(1)　$l$と$C$の交点の個数がちょうど$3$つになるための必要十分条件は

$\boxed{\text{テ}}<p<\boxed{\text{ト}}\cdots$(＊)

である．このとき原点以外の$2$つの交点の$x$座標は

$\boxed{\text{ナ}}p+\boxed{\text{ニ}}\text{，}\boxed{\text{ヌ}}p+\boxed{\text{ネ}}\text{，}$

ただし$\boxed{\text{ナ}}p+\boxed{\text{ニ}}<\boxed{\text{ヌ}}p+\boxed{\text{ネ}}\text{，}$である．

(2)　$p$が条件(＊)をみたすとき，$l$と$C$で囲まれる$2$つの領域のうち，$l$より上にある領域の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}{p}^3+\boxed{\text{ヒ}}{p}^2+\boxed{\text{フ}}p+\boxed{\text{ヘ}}\text{，}$

$l$より下にある領域の面積は

$\boxed{\text{ホ}}{p}^2+\boxed{\text{マ}}p+\boxed{\text{ミ}}$

である．この$2$つの面積の和は$p=\boxed{\text{ム}}+\boxed{\text{メ}}\sqrt{\boxed{\text{モ}}}$のとき最小になる．

【３】　すべての辺の長さが$3$である右図のような立体がある．この立体の辺上を通って$\mathrm{N}$から$\mathrm{S}$へ行く経路を考える．ただし同じ点を$2$度通ってはいけない．

　最短の経路は長さ$3$であり，この長さになる経路は全部で$4$通りある．

(1)　長さが$4$の経路は全部で$\boxed{\text{ヤ}}$通りある．

(2)　長さが$5$の経路は全部で$\boxed{\text{ユ}}$通りある．

(3)　長さが$6$の経路は全部で$\boxed{\text{ヨ}}$通りある．

(4)　最長の経路は長さ$\boxed{\text{ラ}}$であり，$\mathrm{N}\to \mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \cdots \to \mathrm{S}$と進む最長の経路は全部で$\boxed{\text{リ}}$通り，$\mathrm{N}\to \mathrm{A}\to \mathrm{E}\to \cdots \to \mathrm{S}$と進む最長の経路は全部で$\boxed{\text{ル}}$通りある．したがって，最長の経路は全部で$\boxed{\text{レ}}$通りあることがわかる．