2005　上智大学　経済(経営)学部2月9日実施MathJax

【１】

(1)　$x$の整式$f(x)$を$x^2-3x+2$で割った余りが$2x-1$で，$f(x)$を$x^2-5x+6$で割った余りが$ax+7$であれば$a=\boxed{\text{ア}}$である．このとき$f(x)$を$x^2-4x+3$で割った余りは$\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(2)　直線$y=mx$上の点$(t,mt)$と点$(1,2)$との距離は

$\sqrt{{(t-\boxed{\text{エ}})}^2+{(mt-\boxed{\text{オ}})}^2}$

である．したがって

$f(t)=\sqrt{{(t-3)}^2+{(2t-1)}^2}+\sqrt{{(t-2)}^2+{(2t)}^2}$

とおくと，$f(x)$は$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$のとき最小値$\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$をとる．

【１】

(3)　$2$つの関数

$\{\begin{array}{l}y=2x^2+2|x-1|+2\\ y=x^2+2x+4\end{array}$

のグラフで囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

【２】　$xy$平面上に直線

$l:y=6x-2$

が与えられており，放物線

$C:y={(x-p)}^2+q$

が点$\mathrm{P}(\alpha ,\beta )$で$l$に接しているとする．

(1)　$p=\alpha +\boxed{\text{シ}}\text{，}q=\beta +\boxed{\text{ス}}$であり，$q=\boxed{\text{セ}}p+\boxed{\text{ソ}}$である．

(2)　点$\mathrm{P}(\alpha ,\beta )$を通り$l$に直交する直線を$l_1$とする．$l_1$は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}(x-\alpha )+\beta$

と表される．$l_1$に関して直線$x=\alpha$と対称な直線を$l_2$とする．$l_2$は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}(x-\alpha )+\beta$

と表される．$l_1$と直線$x=p$の交点を$\mathrm{R}(p,r)$とすると

$r-q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

が成り立つ．

【３】　目の出る確率が次の表のようになる直方体のサイコロがある．

(1)　サイコロを$2$回投げて出た$2$個の目の中に,$1$も$2$もない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

(2)　サイコロを$3$回投げて出た$3$個の目の中に$3$はあるが，$1$も$2$もない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

(3)　サイコロを$n$回投げて出た$n$個の目の中に$3$はあるが，$1$も$2$もない確率は

${\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\right)}^n$

である．

(4)　サイコロを$n$回（$n\geqq 2$）投げて出た$n$個の目の中に$1$と$2$の両方がある確率は

$1-{\displaystyle \frac{1}{{12}^n}}(\boxed{\text{ホ}}\times {11}^n+\boxed{\text{マ}}\times {10}^n+\boxed{\text{ミ}}\times 9^n)$

である．

(5)　サイコロを$n$回（$n\geqq 2$）投げて出た$n$個の目の中に$2$はないが$1$と$6$の両方がある確率は

${\displaystyle \frac{1}{{12}^n}}(\boxed{\text{ム}}\times {10}^n+\boxed{\text{メ}}\times 9^n+\boxed{\text{モ}}\times 8^n)$

である．