2005　上智大学　理工（機械・化学）学部2月11日実施MathJax

【１】　線分$\mathrm{AB}$を直径とし，中心を$\mathrm{O}$とする半径$3$の円を考える．この円周上に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{C}$をとり，点$\mathrm{C}$における接線が，$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$における接線と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．$\angle \mathrm{CAB}=\theta$とおく．

(1)　$\mathrm{OP}$の長さは$\boxed{\text{ア}}\times \boxed{\text{あ}}$である．$\mathrm{BQ}$の長さは$\boxed{\text{イ}}\times \boxed{\text{い}}$である．$\mathrm{PQ}$の長さは$\boxed{\text{ウ}}\times \boxed{\text{う}}$である．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{エ}}\times \boxed{\text{え}}$である．$▵\mathrm{OPQ}$の面積は$\boxed{\text{オ}}\times \boxed{\text{お}}$である．

(3)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積が$▵\mathrm{ABC}$の面積の$2$倍となるときの最も大きい$\theta$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\pi$である．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

$\boxed{\text{あ}}$から$\boxed{\text{お}}$の選択肢

【２】

(1)　$y=e^{-\frac{3}{4}x}\sin x$が$x=\alpha$で極小値をとるとき，

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

【２】

(2)　複素数$z=x+yi\text{，}w=1+2i$を考える．ただし，$x\text{，}y$は実数で$x>0$とし，$i$は虚数単位とする．$z$の虚部$y$を定数とするとき，$x\times {\left|{\displaystyle \frac{1}{z+w}}\right|}^2$を最大にする$x$は

$\sqrt{\boxed{\text{シ}}{y}^2+\boxed{\text{ス}}y+\boxed{\text{セ}}}$

である．

【２】

(3)　$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+ax+b}{x^2-x+1}}$の最大値が$3\text{，}$最小値が${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．このとき$(a,b)=(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})$または$(\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}})$である．ただし，$\boxed{\text{ソ}}<\boxed{\text{チ}}$とする．

【３】　$3$次関数$y=x^3+3a{x}^2+bx$のグラフを$C$とする．傾き$m$の接線が$C$に$2$本引けるとき，その$2$接点を結ぶ直線の傾きを$k(m)$とする．

(1)　傾き$m$の接線が$C$に$2$本引けるための必要十分条件は

$m>\boxed{\text{テ}}{a}^2+\boxed{\text{ト}}b$

である．

(2)　$k(m)=\boxed{\text{ナ}}{a}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}b+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}m$である．

　以下では，$a\text{，}b$が$k(0)=-2$を満たすときについて考える．

(3)　この$3$次関数は$x=\boxed{\text{ハ}}a+\boxed{\text{ヒ}}$のとき極大値をとる．

(4)　この$3$次関数の極大値と極小値の差は$\boxed{\text{フ}}$である．

(5)　さらに$a=0$のときについて考える．$C$の接線のうちで傾きが最小となるものを$l_1$とすると，その方程式は$y=\boxed{\text{ヘ}}x+\boxed{\text{ホ}}$である．$C$が極大となる点での接線を$l_2$とすると，$l_1\text{，}{l}_2$と$C$で囲まれた図形のうちで小さい方の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$である．

【４】　$A=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 2& 1\end{array}\right)$とする．

(1)　漸化式$\left(\begin{array}{c}{x}_{k+1}\\ y_{k+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\end{array}\right)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を考える．

(ⅰ)　$x_2=30\text{，}{x}_3=-6$となるとき，$x_1=\boxed{\text{ム}}\text{，}{y}_1=\boxed{\text{メ}}$である．

(ⅱ)　$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ a\end{array}\right)$とするとき， $\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$となるのは，

$(t,a)=(\boxed{\text{モ}},\boxed{\text{ヤ}})$または$(\boxed{\text{ユ}},\boxed{\text{ヨ}})$

のときである．ただし，$\boxed{\text{モ}}<\boxed{\text{ユ}}$とする．

(2)　$a=\boxed{\text{ヨ}}$（(1)で求めた値）とし，漸化式$\left(\begin{array}{c}{x}_{k+1}\\ y_{k+1}\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{18}}A\left(\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}12\\ a\end{array}\right)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を考える．$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$とするとき，$\left(\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\end{array}\right)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}(1-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}}}}\right)}^{k-1})\left(\begin{array}{c}12\\ a\end{array}\right)$である．

(3)　漸化式$\left(\begin{array}{c}{x}_{k+1}\\ y_{k+1}\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{18}}A\left(\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を考える．

　$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$とするとき，$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ロ}}}{\boxed{\text{ワ}}}}$である．